"Информатика (в 2 частях)", Могилев А.В., Могилева В.Н., Цветкова М.С.
Высказывание — это предложение, для которого можно определить, истинно оно или ложно. Из простых высказываний с помощью связок НЕ, И и ИЛИ строят составные: например, отрицают исходное утверждение или соединяют два утверждения. Правила связок помогают вычислять истинность таких выражений и понимать условия в задачах и программах. Главное — сначала определить значения простых высказываний, а затем выполнить логические действия с учётом скобок.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Высказывание — повествовательное предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Например, предложение «Снег белый» сообщает утверждение, которое можно проверить. Вопрос или приказ не подходят, потому что не утверждают факт. Понятие высказывания помогает отделять логические утверждения от других предложений.
Истинностное значение — характеристика высказывания: «истина» или «ложь», обозначаемая соответственно И и Л или 1 и 0. Например, для истинного утверждения записывают И, а для ложного — Л. Числовые обозначения удобны в таблицах и вычислениях. У каждого высказывания в рассматриваемых условиях одно из этих значений.
Логическая связка — слово или символ, с помощью которого из исходных высказываний получают новое составное высказывание. К таким связкам относятся НЕ, И и ИЛИ. Они задают правило, по которому определяется истинность нового утверждения. Поэтому важно различать сами высказывания и действие связки над ними.
Составное высказывание — высказывание, образованное из простых высказываний с помощью логических связок. Например, из утверждений A и B можно составить A И B. Составное высказывание тоже имеет значение И или Л, которое зависит от значений его частей и правила связки. Это позволяет рассуждать о нескольких условиях как об одном выражении.
Чтобы отличить высказывание от других предложений, спросите себя, можно ли установить для него истину или ложь. В предложении «7 · 8 = 54» есть проверяемое утверждение, поэтому оно является высказыванием, хотя и ложным. Вопрос «Который час?» не утверждает ответа, а приказ «Закройте окно» побуждает к действию. Отдельное слово тоже не сообщает законченного утверждения, поэтому его истинностное значение определить нельзя.
Связка НЕ означает отрицание исходного высказывания: она заменяет истину ложью, а ложь — истиной. Это происходит потому, что отрицание утверждает, что исходное положение не выполняется. Если A истинно, то НЕ A ложно; если A ложно, то НЕ A истинно. Например, отрицание фразы «Число чётное» — «Число не является чётным».
Связка И соединяет два требования, которые должны выполняться одновременно. Поэтому A И B истинно только при истинности и A, и B: если хотя бы одно условие не выполнено, всё соединённое утверждение не выполняется. Так устроено, например, требование «число больше 2 и меньше 10»: подходят только числа, удовлетворяющие обеим частям. Именно это правило отличает И от ситуации, когда достаточно одного условия.
Связка ИЛИ в математической логике означает, что достаточно истинности хотя бы одной части. Следовательно, A ИЛИ B истинно при истинном A, при истинном B и даже при истинности обоих сразу. Ложным оно бывает только тогда, когда ложны и A, и B. Такое понимание называют включающим ИЛИ: оно не требует выбирать ровно один вариант, даже если в обычной речи слово «или» иногда звучит именно так.
В составном выражении сначала определите, какие простые высказывания входят в него, и найдите их значения. Затем учитывайте скобки: они указывают, какую часть нужно вычислить первой, как в арифметике. После этого применяйте правила НЕ, И и ИЛИ к уже известным значениям частей. Например, в НЕ(A ИЛИ B) сначала вычисляют A ИЛИ B внутри скобок, а затем отрицают полученный результат.
| Связка | Обозначение | Когда составное высказывание истинно | Когда составное высказывание ложно | Пример записи |
|---|---|---|---|---|
| НЕ | НЕ A | Когда A ложно | Когда A истинно | НЕ A |
| И | A И B | Когда истинны и A, и B | Когда ложно хотя бы одно из них | A И B |
| ИЛИ | A ИЛИ B | Когда истинно хотя бы одно из них, включая оба | Когда ложны и A, и B | A ИЛИ B |
В таблице сначала найдите нужную связку и прочитайте условие истинности и ложности. Для составного выражения подставьте значения его частей, а затем примените соответствующую строку. Если частей несколько, скобки подскажут, с какого фрагмента начать.
Условие: определите, какие предложения являются высказываниями, и установите их истинностные значения: «Москва — столица России», «Закройте окно», «Который час?», «7 · 8 = 54».
Ответ: высказывания — «Москва — столица России» (И) и «7 · 8 = 54» (Л); приказ и вопрос высказываниями не являются.
Условие: A — «Число 12 делится на 3», B — «Число 12 нечётное». Определите истинность НЕ A, A И B и A ИЛИ B.
Ответ: НЕ A — Л; A И B — Л; A ИЛИ B — И.
Условие: A — «x > 5», B — «x < 10». Определите значения A И B и НЕ(A ИЛИ B) при x = 3, x = 7 и x = 12.
Ответ: при x = 3 получаем Л и Л; при x = 7 — И и Л; при x = 12 — Л и Л. Скобки показывают, что сначала нужно выполнить ИЛИ, а затем отрицать результат.
Ошибка: считать вопрос или приказ высказыванием. Так происходит, когда ориентируются на грамматическую форму предложения, а не на возможность установить истину или ложь. Проверьте себя вопросом: «Можно ли ответить на это И или Л без изменения смысла?» Если предложение спрашивает или побуждает, такого значения у него обычно нет.
Ошибка: понимать ИЛИ только как выбор ровно одного варианта. В повседневной речи слово часто используют именно так, поэтому это привычное толкование переносится в логику. Проверьте строку таблицы истинности: A ИЛИ B истинно также при истинности обеих частей. Ложным оно будет только при двух ложных частях.
Ошибка: считать A И B истинным, если истинна хотя бы одна часть. Это правило ИЛИ по ошибке применяют к связке И. Чтобы проверить себя, спросите, выполнены ли оба условия одновременно; если хотя бы одно не выполнено, результат для И — Л. Например, число не может удовлетворить требованию «больше 5 и меньше 3».
Ошибка: неверно определить область действия НЕ или пропустить скобки. Отрицание может относиться ко всему выражению в скобках, а не только к ближайшему высказыванию, поэтому порядок действий меняет результат. Перепишите выражение с явными скобками и сначала вычислите то, что стоит внутри них. Затем примените НЕ к результату всего выражения в скобках.
Для работы с логикой нужно различать повествовательные предложения, вопросы и побуждения, а также понимать значения слов «истина» и «ложь». Эти навыки помогают правильно задавать исходные утверждения и проверять их. В дальнейшем логические связки используются в алгоритмах с условиями и программных выражениях. Таблицы истинности позволяют систематически проверять такие условия и разбирать сложные логические выражения.
Может ли вопрос быть высказыванием?
Обычный вопрос не является высказыванием: на него нельзя ответить «истина» или «ложь». Высказывание должно сообщать что-то, истинность чего можно проверить.
Чем логическое ИЛИ отличается от обычного употребления слова «или»?
В математической логике A ИЛИ B истинно, если истинно A, B или оба высказывания сразу. В обычной речи «или» иногда понимают как выбор только одного варианта, но логическая связка такого ограничения не задаёт.
Почему A И B ложно, если ложно только одно из высказываний?
Связка И требует, чтобы одновременно выполнялись оба утверждения. Если хотя бы одно из них ложно, условие «A и B» уже не выполнено.
Как определить, к какой части выражения относится связка НЕ?
Сначала посмотрите на скобки: НЕ перед скобками отрицает всё выражение внутри них. Если скобок нет, ориентируйтесь на запись и порядок действий; при необходимости заключите нужную часть в скобки.
Зачем нужны таблицы истинности?
Таблица истинности показывает результат логического выражения для всех возможных наборов значений его частей. Она помогает проверять рассуждения и находить ошибки в сложных выражениях.
§ 25. Высказывания. Связки НЕ, И, ИЛИ
