"Информатика (в 2 частях)", Нателаури Н.К., Маранин С.С.
Сложное высказывание строят из простых с помощью логических операций «И», «ИЛИ» и «НЕ». Его значение зависит от того, истинны или ложны составляющие его части. Конъюнкция истинна, только если истинны обе части; для дизъюнкции достаточно хотя бы одной истинной части; отрицание меняет значение на противоположное. Эти правила помогают вычислять логические выражения по шагам и записывать все возможные результаты в таблице истинности. Такие таблицы полезны при работе с условиями в алгоритмах и программах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сложное высказывание — это высказывание, составленное из простых с помощью логических операций. Например, «Число 8 чётное и больше 10» объединяет два сообщения. Истинность целого зависит от истинности частей и от того, какая операция их связывает.
Конъюнкция — логическая операция «И», которую записывают знаком ∧: A ∧ B. Она истинна только при истинности обоих высказываний. Это правило помогает проверять утверждения, в которых должны выполняться сразу два условия.
Дизъюнкция — логическая операция «ИЛИ», обозначаемая знаком ∨: A ∨ B. Она истинна, если истинно хотя бы одно из высказываний, включая случай, когда истинны оба. Такое обозначение нужно, когда для выполнения условия достаточно одного из нескольких вариантов.
Отрицание — операция «НЕ», которая меняет истинность высказывания на противоположную; её знак — ¬. Если A истинно, ¬A ложно, а если A ложно, ¬A истинно. Буквы A и B обычно используют вместо простых высказываний, чтобы записывать и разбирать логические выражения кратко.
Чтобы собрать сложное высказывание, сначала выбирают простые утверждения, например A: «Идёт дождь», B: «Дует ветер». Затем их соединяют логическими словами: A ∧ B означает «Идёт дождь и дует ветер», а A ∨ B — «Идёт дождь или дует ветер». Запись буквами и знаками удобна тем, что правила вычисления остаются одинаковыми независимо от смысла утверждений. Знак ¬ перед буквой или выражением показывает, что нужно рассмотреть его отрицание.
Конъюнкция требует истинности обеих частей, потому что слово «И» объединяет условия: составное утверждение обещает, что выполнены и первое, и второе. Если одно из условий не выполнено, всё обещание уже неверно. Дизъюнкция устроена иначе: достаточно подтвердить хотя бы одно из двух утверждений. В логике «ИЛИ» не исключает одновременную истинность обеих частей, поэтому она также даёт истину, если истинны обе.
Отрицание меняет значение, потому что сообщает, что исходное утверждение неверно. Например, если «Число 8 чётное» истинно, то «Число 8 нечётное» — его отрицание и оно ложно. Если же исходное утверждение ложно, отрицание сообщает противоположное и становится истинным. Поэтому при вычислении ¬A сначала устанавливают значение A, а затем заменяют его на противоположное.
Чтобы проверить выражение при всех вариантах, составляют таблицу истинности — таблицу результатов для всех возможных значений исходных высказываний. Для двух букв A и B есть четыре сочетания: И,И; И,Л; Л,И; Л,Л. В каждой строке вычисляют нужные операции, поэтому видны и правило, и результат для любого набора исходных значений. Такой способ особенно полезен, когда выражение содержит несколько действий.
Скобки показывают, какую часть выражения нужно вычислить раньше: в (A ∨ B) ∧ ¬C сначала находят A ∨ B и ¬C, а затем соединяют результаты знаком ∧. Если скобок нет, порядок операций тоже учитывают: сначала выполняют отрицание, затем конъюнкцию, потом дизъюнкцию. Промежуточные значения удобно записывать отдельно, чтобы не потерять результат предыдущего шага. Правильный порядок важен, потому что разные группировки могут дать разные значения.
| A | B | ¬A | A ∧ B | A ∨ B |
|---|---|---|---|---|
| И | И | Л | И | И |
| И | Л | Л | Л | И |
| Л | И | И | Л | И |
| Л | Л | И | Л | Л |
Сначала найдите строку с нужными значениями A и B, затем прочитайте результат в столбце нужной операции. Столбец ¬A показывает значение, противоположное A, а столбцы ∧ и ∨ — результаты соединения двух высказываний. И означает «истинно», Л — «ложно».
Задача 1. Для A: «Число 8 чётное» и B: «Число 8 больше 10» определим истинность A ∧ B и A ∨ B. Сначала проверим каждое утверждение отдельно, ведь результат сложного высказывания нельзя получить, не зная значений его частей. Затем применим правило соответствующей операции.
Ответ: A ∧ B — Л; A ∨ B — И. Здесь знак «ИЛИ» не требует, чтобы обе части были истинными, а «И» требует.
Задача 2. Составим таблицу истинности выражения ¬A ∨ B для всех сочетаний A и B. В выражении есть отрицание и дизъюнкция, поэтому сначала вычислим ¬A для каждой строки. После этого сравним значения ¬A и B по правилу «ИЛИ».
Ответ: значения выражения по порядку строк — И, Л, И, И. Проверка проста: дизъюнкция ложна только в строке, где обе её части ложны.
Задача 3. Определим значение (A ∨ B) ∧ ¬C, если A ложно, B истинно, а C истинно. Скобки выделяют первую часть, а отрицание относится к C. Поэтому сначала вычислим выражение в скобках и отрицание, а последним шагом выполним конъюнкцию.
Ответ: выражение (A ∨ B) ∧ ¬C ложно. Пошаговая запись помогает учесть скобки и не перепутать промежуточные значения.
Иногда считают, что A ∨ B истинно только при истинности обеих частей. Так правило конъюнкции по ошибке переносят на дизъюнкцию, потому что обе операции соединяют высказывания. Проверьте себя по строке И,Л: дизъюнкция там истинна, а конъюнкция ложна.
Другая ошибка — объявлять дизъюнкцию ложной, если обе её части истинны. Её допускают, если понимать «ИЛИ» только как выбор одного варианта, но в обычной логической операции допустима истинность обоих. Чтобы проверить результат, подставьте в A ∨ B значения И и И: итог тоже И.
При отрицании можно оставить исходное значение без изменения или поменять его не на противоположное. Обычно это происходит, когда знак ¬ теряют из виду или пытаются применить его к другой части выражения. Перед следующим действием отдельно запишите результат: из И получается Л, из Л — И.
Если вычислять выражение без учёта скобок и порядка действий, можно получить неверные промежуточные значения и итог. Ошибка возникает, когда считают операции слева направо, не проверяя, какая часть должна выполняться первой. Отметьте скобки, вычислите их содержимое и отрицания, а затем двигайтесь к оставшимся операциям.
Для работы с логикой нужно уметь отличать высказывания от вопросов и команд: у высказывания можно определить, истинно оно или ложно. Если фраза не сообщает утверждение, её нельзя без изменений включить в таблицу истинности. Навык проверки простых высказываний становится основой для разбора сложных.
Таблицы истинности применяются при изучении логических выражений, алгоритмов и условий ветвления в программах. Условие помогает программе выбрать, какие команды выполнить, а логические операции позволяют объединять и проверять несколько требований. Поэтому умение вычислять выражения пригодится не только в задачах по логике.
Чем сложное высказывание отличается от простого?
Простое высказывание сообщает что-то об одном факте и не содержит логических операций. Сложное составлено из двух или нескольких простых с помощью «И», «ИЛИ» или «НЕ».
Когда высказывание с логической операцией «И» истинно?
Конъюнкция «И» истинна только тогда, когда истинны обе её части. Если хотя бы одна часть ложна, всё высказывание ложно.
Может ли выражение с «ИЛИ» быть истинным, если истинны обе его части?
Да. В обычной логике «ИЛИ» означает, что истинна хотя бы одна часть, поэтому истинность обеих частей тоже делает всё выражение истинным.
Как отрицание влияет на истинность высказывания?
Отрицание меняет значение на противоположное: истинное высказывание становится ложным, а ложное — истинным. Например, если A истинно, то ¬A ложно.
Зачем составляют таблицу истинности?
Таблица истинности показывает результат логического выражения для всех возможных сочетаний истинности исходных высказываний. С ней проще не пропустить случай и проверить вычисления.
Истинность сложных высказываний
