Высказывания. Истинность высказываний

Определения и обозначения

Высказывание — предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Например, «Снег белый» — высказывание, а «Закрой окно!» — просьба, не утверждение. Вопрос тоже обычно не является высказыванием, потому что спрашивает о факте, но не сообщает, каким этот факт является. Это определение помогает отделять утверждения, которые можно проверить, от других предложений.

Истинность высказывания — соответствие его содержания действительности. Если утверждение соответствует фактам, его значение — истина; если не соответствует — ложь. Например, «У квадрата четыре стороны» истинно, а «У квадрата пять сторон» ложно. Эти значения нужны, чтобы точно описывать результат проверки, а не выражать личное согласие или несогласие.

Простое высказывание — высказывание, которое не содержит других высказываний как частей. Например, «12 делится на 3» можно рассматривать как простое утверждение. Оно сообщает один факт и оценивается как целое. Выделение простых высказываний помогает разбирать более сложные рассуждения.

Составное высказывание образуется из простых с помощью слов-связок, например «и», «или», «не». Так, в утверждении «12 делится на 3 и 12 — простое число» соединены два высказывания. Связка задаёт, как их части влияют на значение целого. Поэтому для проверки составного высказывания нужно учитывать и истинность частей, и смысл связки.

Как это устроено

Чтобы определить, является ли предложение высказыванием, сначала нужно понять, что именно оно утверждает. Затем проверьте, можно ли установить его истинность или ложность. Если смысл неясен или предложение только задаёт вопрос либо побуждает к действию, оценить его как факт нельзя. Проверка смысла нужна потому, что грамматически правильная фраза не обязательно сообщает что-то, что можно подтвердить или опровергнуть.

Истинность устанавливают по фактам, определениям или условиям задачи. Например, утверждение о делимости проверяют вычислением, а утверждение о геометрической фигуре — по её определению. Личное мнение говорящего не меняет значения высказывания: уверенный тон не делает ложный факт истинным. Такой способ проверки позволяет опираться на содержание, а не на впечатление от фразы.

Иногда для оценки предложения не хватает контекста, то есть сведений, которые уточняют его смысл. В фразе «Он пришёл» неизвестно, кто такой «он», если собеседники этого не знают. Предложение «x больше 5» тоже нельзя однозначно оценить, пока не задано значение x: при x = 7 оно истинно, а при x = 3 — ложно. Значит, сначала нужно выяснить, определены ли все важные слова и значения.

В составном высказывании слова «и», «или», «не» связывают простые высказывания или изменяют их значение. Например, «Идёт дождь и дует ветер» требует, чтобы выполнялись оба утверждения. Слово «или» задаёт другой способ объединения частей, а «не» отрицает высказывание. Из-за разных функций связок одно и то же сочетание частей может давать разные результаты.

Чтобы проверить составное высказывание, сначала установите истинность каждой его части. Затем выясните, какую связку использовали, и примените её смысл: «и» требует истинности обеих частей, «или» — хотя бы одной, а «не» меняет значение на противоположное. После этого можно оценить всё утверждение целиком. Такой порядок не даёт смешать проверку отдельных фактов с проверкой связи между ними.

Виды предложений и примеры высказываний

Сначала выясните, что делает предложение: утверждает факт, спрашивает или побуждает. Затем проверьте, заданы ли все нужные значения и можно ли подтвердить или опровергнуть утверждение. Лишь после этого определяйте, истинно оно или ложно.

Разбор задач

Задача 1. Определите, является ли предложение «У квадрата четыре стороны» высказыванием и установите его истинность.

1. Предложение утверждает свойство геометрической фигуры, а не задаёт вопрос и не побуждает к действию.
2. Проверим, можно ли однозначно оценить утверждение: смысл слова «квадрат» известен, а число его сторон определяется геометрией.
3. Сверим утверждение с определением квадрата: у него четыре стороны.

Ответ: это высказывание; оно истинное, потому что соответствует определению квадрата.

Задача 2. Для предложений «7 — чётное число», «Земля вращается вокруг Солнца» и «Откройте учебник!» укажите, какие из них являются высказываниями, и определите истинность подходящих.

1. Первое и второе предложения сообщают факты, поэтому их можно проверять как высказывания.
2. Число 7 не делится на 2 без остатка, значит, первое утверждение ложно.
3. Земля вращается вокруг Солнца, поэтому второе утверждение истинно.
4. Третье предложение побуждает к действию. Оно не утверждает факт, следовательно, его нельзя оценить как истинное или ложное.

Ответ: первые два предложения — высказывания; первое ложное, второе истинное. «Откройте учебник!» не является высказыванием.

Задача 3. Пусть A: «12 делится на 3», B: «12 — простое число». Определите истинность высказываний «A и B», «A или B» и «не B».

1. Сначала проверим части: A истинно, поскольку 12 делится на 3 без остатка; B ложно, поскольку 12 имеет делители, отличные от 1 и самого числа.
2. В высказывании «A и B» связка «и» требует истинности обеих частей. B ложно, значит, всё высказывание ложно.
3. В высказывании «A или B» достаточно истинности хотя бы одной части. A истинно, поэтому целое высказывание истинно.
4. В высказывании «не B» связка «не» меняет значение B на противоположное. Так как B ложно, «не B» истинно.

Ответ: «A и B» — ложь; «A или B» — истина; «не B» — истина.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать высказыванием любое грамматически оформленное предложение. Вопрос или просьба могут быть полноценными фразами, но они не утверждают факт, поэтому их нельзя оценить как истинные или ложные. Это часто путают с правильностью предложения с точки зрения языка. Для самопроверки спросите себя: «Можно ли это подтвердить или опровергнуть?»

Вторая ошибка — считать утверждение истинным только потому, что оно звучит правдоподобно. Впечатление может быть обманчивым: значение высказывания определяется фактами, определениями или условиями задачи. Чтобы не подменять проверку догадкой, найдите основание для ответа и только потом выбирайте «истина» или «ложь».

Третья ошибка — объявлять предложение с переменной истинным или ложным, не задав её значение. При разных значениях переменной одно и то же предложение может менять истинность, поэтому без уточнения ответ не определён. Проверьте, задана ли переменная в условии; если нет, сначала запросите или найдите её значение.

Четвёртая ошибка — путать ложное высказывание с предложением, которое не является высказыванием. Ложное утверждение можно проверить и установить, что оно не соответствует действительности; вопрос или команда такой оценки не имеют. Путаница возникает, когда любое предложение, на которое нельзя ответить «истина», называют ложным. Для проверки выясните, утверждает ли фраза факт, и только затем оценивайте его.

Связь с другими темами

Для изучения высказываний нужно уметь различать повествовательные, вопросительные и побудительные предложения, а также понимать смысл слов и утверждений. Эти навыки помогают увидеть, что именно сообщается и можно ли проверить содержание. Позже понятие высказывания понадобится при изучении логических операций и таблиц истинности. Оно также используется в алгоритмах: условия помогают программе выбирать, какие действия выполнять.

Что запомнить

• Высказывание — предложение, которому можно приписать истинность или ложь.
• Истинность не зависит от личного мнения говорящего.
• Вопросы и побуждения обычно не являются высказываниями.
• Предложение с переменной требует задания её значения.
• Высказывание может быть простым или составным.
• Истинность составного высказывания зависит от истинности частей и используемых связок.