13. Графики и диаграммы

Определения и обозначения

График — способ показать изменение величины с помощью точек на координатной плоскости и линий, соединяющих эти точки. Например, по нему можно увидеть, как менялась температура в течение дня. График нужен, чтобы быстро заметить направление изменения и приблизительно определить значение в нужный момент.

Диаграмма — наглядное представление числовых данных с помощью столбцов, секторов, линий или других графических элементов. Она превращает ряд чисел в изображение, которое легче сравнивать. Вид диаграммы выбирают по тому, что требуется показать: различия между объектами или состав общего количества.

Ось координат — направленная числовая линия, на которой отмечают значения величин. На графике обычно есть горизонтальная ось и вертикальная ось, пересекающиеся в начале координат. Оси помогают точно определить положение каждой точки и понять, какие данные ей соответствуют.

Масштаб — правило, показывающее, сколько единиц величины соответствует одному делению на оси. Например, одно деление может означать 5 градусов или 10 книг. Масштаб нужен для точного нанесения данных и правильного чтения готового графика или диаграммы.

Как это устроено

Исходные данные обычно записывают в таблицу: в одной строке или столбце находятся значения одной величины, а рядом — соответствующие им значения другой. Чтобы превратить таблицу в изображение, каждую связанную пару чисел представляют точкой или отдельным элементом диаграммы. Такое преобразование нужно потому, что расположение элементов позволяет увидеть закономерность, которую трудно заметить в длинном списке чисел.

Для графика нужны две оси, потому что положение точки определяется двумя координатами. По горизонтальной оси чаще откладывают независимую величину: время, номер наблюдения или расстояние. По вертикальной оси размещают величину, которая изменяется в зависимости от первой, например температуру, скорость или пройденный путь.

Масштаб выбирают после того, как определены все значения из таблицы. Он должен охватывать нужный диапазон и оставаться равномерным: одинаковые отрезки на оси обозначают одинаковое количество единиц. Затем для каждой строки находят положение по горизонтали и вертикали, ставят точку с такими координатами и проверяют, не перепутаны ли значения.

Точки графика соединяют линиями в порядке изменения независимой величины, например от раннего времени к позднему. Линия помогает увидеть общую тенденцию и оценить промежуточные значения между наблюдениями. Если данные относятся к отдельным несвязанным объектам, соединение может быть ненужным, потому что оно создаст ложное представление о непрерывном изменении.

График подходит для наблюдения за изменением величины, столбчатая диаграмма — для сравнения отдельных категорий, а круговая — для изображения частей одного целого. Например, рост температуры удобно показать графиком, количество книг в разных классах — столбцами, а распределение семейного бюджета — секторами круга. Поэтому сначала определяют цель анализа, а уже затем выбирают вид изображения.

По графику сначала находят нужную координату на одной оси, затем проводят взгляд к линии и считывают значение по другой оси. По столбчатой диаграмме сравнивают высоты или длины столбцов, а по круговой оценивают размеры секторов и их доли. Так можно определить значение, найти максимум и минимум, вычислить разницу и заметить рост, уменьшение или резкое отличие.

Виды наглядного представления данных

Таблица помогает выбрать изображение по цели задачи. Сначала определите, требуется ли проследить изменение, сравнить категории или показать части общего количества. При чтении всегда сверяйтесь с подписями и шкалой, а не только с внешним размером элементов.

Разбор задач

Задача 1. Движение по времени

По таблице «время — пройденное расстояние» нужно построить график движения и определить расстояние через 3 часа. В каждой строке таблицы записана пара: время и соответствующий путь. Значит, потребуется координатная плоскость, где время будет связано с расстоянием.

1. Подпишем горизонтальную ось «Время» и вертикальную ось «Расстояние», потому что путь зависит от продолжительности движения.
2. Выберем равномерный масштаб по обеим осям, чтобы на них помещались все табличные значения.
3. Для каждой строки найдём точку с координатами (время; расстояние), нанесём все точки и соединим их по порядку времени.
4. На горизонтальной оси найдём 3 часа, поднимемся до линии графика и проведём взгляд к вертикальной оси.

Ответ: расстояние через 3 часа считывают по вертикальной оси в точке пересечения с графиком. Число зависит от конкретных значений исходной таблицы, поэтому без неё получить численный ответ нельзя.

Задача 2. Книги в классах

По столбчатой диаграмме количества книг в пяти классах нужно определить класс с наибольшим количеством книг и узнать, на сколько его результат больше результата другого класса. Здесь не требуется прослеживать изменение во времени, поэтому сравниваются отдельные столбцы. Числа следует считывать по шкале вертикальной оси или по подписям.

1. Находим самый высокий столбец и определяем его значение по вертикальной шкале.
2. Находим столбец указанного другого класса и так же считываем его значение.
3. Из большего количества вычитаем меньшее: разность показывает, на сколько книг один результат превышает другой.

Ответ: нужный класс определяется по самому высокому столбцу, а разница находится вычитанием двух соответствующих значений. Нельзя сравнивать только ширину столбцов, если данные представлены их высотой.

Задача 3. Расходы семьи

По данным о расходах семьи нужно выбрать подходящий вид диаграммы, построить её и сделать два вывода. Если расходы распределены по категориям и требуется показать долю каждой категории в общей сумме, удобнее круговая диаграмма. Если важнее сравнить суммы между категориями, лучше использовать столбчатую диаграмму.

1. Определим цель: для долей найдём общую сумму расходов и вычислим, какую часть составляет каждая категория.
2. Выберем масштаб и нанесём элементы: для столбцов высота соответствует сумме, а для секторов размер зависит от доли категории.
3. Проверим подписи и сопоставим каждый элемент с исходной строкой таблицы.
4. Сформулируем два вывода, называя конкретные категории и значения, например о самой большой статье и разнице между двумя статьями.

Ответ: вид диаграммы выбирается по цели представления. Два вывода должны подтверждаться изображением и числами, а не только впечатлением от размера столбца или сектора.

Типичные ошибки

Величины на горизонтальной и вертикальной осях могут перепутать местами. Это происходит, когда ученик смотрит только на числа, а не на подписи осей. Проверьте себя: первая координата каждой точки должна относиться к горизонтальной оси, вторая — к вертикальной.

Неравномерный или неуказанный масштаб искажает данные. Ошибку допускают, когда хотят вместить много чисел или подписывают только часть делений. Проверьте, одинаково ли изменяется значение от деления к делению и понятно ли, что означает одно деление.

Точки иногда наносят не по парам значений или соединяют в неправильном порядке. Причина — потеря связи между строками таблицы или невнимательное чтение оси времени. Проверьте каждую точку по двум координатам и соединяйте точки от меньшего значения независимой величины к большему.

Вывод по диаграмме нельзя делать только по размеру рисунка. На результат могут повлиять масштаб, перспективное изображение или зрительное восприятие секторов. Сверяйте высоту столбца или размер сектора с числовыми подписями, легендой и шкалой.

Связь с другими темами

До изучения графиков и диаграмм нужно уметь читать таблицы, сравнивать числа и отмечать точки на координатной плоскости. Эти навыки помогают не потерять исходные значения при построении.

Тема связана с электронными таблицами: компьютерные программы автоматически строят диаграммы по выделенному набору данных. Пользователь всё равно должен правильно выбрать столбцы, вид изображения и подписи.

Графики и диаграммы применяют при анализе экспериментов, статистики и повседневных данных. С их помощью сравнивают результаты наблюдений, расходы, погоду, скорость и многие другие величины.

Что запомнить

• График показывает изменение величины, а диаграмма помогает сравнивать данные или видеть их состав.
• Перед построением нужно определить, что откладывается по каждой оси.
• Масштаб на каждой оси должен быть равномерным и понятным.
• Каждой паре значений таблицы соответствует точка на графике.
• Вид графического представления выбирают по цели анализа данных.
• По графику или диаграмме можно сравнивать значения и делать обоснованные выводы.