"Информатика (в 2-х частях)", Горячев А.В., Герасимова В.Г., Макарина Л.А., Островский С.Л., Паволоцкий А.В., Семёнов А.А., Юдина А.Г., Чернышёва Т.Л.
Система счисления — набор знаков и правил, с помощью которых записывают числа. Одно и то же число можно представить по-разному: например, десятичной записью или двоичной. В позиционной системе значение цифры зависит от её места, а основание показывает, сколько цифр используется. Эти правила позволяют читать и сравнивать записи чисел, переводить их из одной системы в другую и понимать, как информация представляется в компьютере.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система счисления — способ записи чисел с помощью определённых знаков и правил. Она нужна, чтобы записывать и читать числа единообразно, а также выполнять с ними действия. Одни и те же величины можно представить разными системами, поэтому правила помогают понять, какое значение имеет запись.
Цифра — знак, которым записывают число в данной системе счисления; набор допустимых цифр зависит от системы. Например, в десятичной системе есть цифры от 0 до 9, а в двоичной — только 0 и 1. Зная допустимые знаки, можно проверить, правильно ли записано число.
Основание системы счисления — число, показывающее, сколько разных цифр используется в системе. Например, у десятичной системы основание 10, а у двоичной — 2. Основание позволяет определить и набор цифр, и устройство разрядов, поэтому оно обязательно указывается при разборе незнакомой записи.
Позиционная система счисления — система, в которой значение цифры зависит от её места в записи числа. Например, в числе 55 одинаковые цифры обозначают разное количество единиц: одна стоит в разряде десятков, другая — единиц. Это правило помогает разложить запись на разрядные слагаемые и вычислить значение числа.
В десятичной системе используются цифры от 0 до 9, а основание равно 10. Когда в разряде единиц набирается десять единиц, их заменяют одной десяткой и переходят к следующему разряду. Ноль нужен, чтобы показать отсутствие единиц в конкретном разряде: в числе 205 десятков нет, и это обозначено нулём между 2 и 5.
Позиционную запись можно разложить на сумму слагаемых: каждая цифра умножается на основание системы в степени, соответствующей её разряду. В числе 347₁₀ это выглядит так: 3 · 10² + 4 · 10¹ + 7 · 10⁰. Такая запись объясняет, почему цифра 3 здесь означает три сотни, а не просто три; степень 0 у единиц даёт множитель 1.
Место цифры задаёт разряд, а разряды растут справа налево. В позиционной системе каждый переход на один разряд влево увеличивает значение разряда в число раз, равное основанию: в десятичной системе единицы сменяются десятками, затем сотнями. Поэтому две одинаковые цифры в одном числе могут вносить разный вклад в его значение.
В двоичной системе основание равно 2, поэтому достаточно цифр 0 и 1. Когда в разряде набираются две единицы, возникает одна единица следующего разряда; поэтому разряды соответствуют степеням двойки: 1, 2, 4, 8 и далее. Например, 1011₂ = 1 · 2³ + 0 · 2² + 1 · 2¹ + 1 · 2⁰ = 11₁₀.
В непозиционных системах значение знака не определяется только его местом так, как в позиционной системе. Например, римские знаки I, V и X обозначают определённые значения, а запись чисел складывается по особым правилам; иногда порядок знаков влияет на результат. Поэтому нельзя просто прочитать римскую запись как набор разрядов и разложить её по степеням основания.
| Свойство | Десятичная | Двоичная | Римская |
|---|---|---|---|
| Используемые знаки | 0–9 | 0 и 1 | I, V, X, L, C, D, M и другие |
| Основание | 10 | 2 | Нет позиционного основания |
| Зависит ли значение знака от его позиции | Да | Да | Не так, как в позиционной системе |
| Пример записи числа | 25 | 11001₂ | XXV |
Сравнивайте системы по строкам: сначала выясните, какие знаки допустимы, а затем посмотрите, есть ли основание и меняется ли значение знака от его позиции. Примеры в последней строке обозначают одно и то же число, 25, но записаны по-разному. Это помогает не путать вид записи с величиной числа.
Нужно проверить каждую цифру записи: в системе с основанием 3 допустимы только цифры от 0 до 2. Даже если большая часть записи подходит, наличие недопустимого знака делает всю запись неправильной.
Ответ: записать число 203 в системе с основанием 3 нельзя. Для записи в этой системе потребовалось бы представить значение другими разрядами и использовать только цифры 0, 1 и 2.
Сначала каждой позиции назначаем степень основания 5: справа налево это степени 0, 1 и 2. Затем умножаем каждую цифру на соответствующую степень. Нулевое слагаемое оставляем в разложении, чтобы было видно, что разряд пятёрок отсутствует.
Ответ: 304₅ = 79₁₀. Индекс 5 у исходной записи указывает основание, а индекс 10 у результата — десятичную систему.
Чтобы перевести число в систему с основанием 2, делим его на 2 и каждый раз записываем остаток. Последний частный доводим до нуля, а остатки читаем в обратном порядке: от последнего к первому. Проверка обратным переводом покажет, действительно ли получено исходное значение.
Ответ: 25₁₀ = 11001₂. Обратный перевод дал 25, значит, результат верен.
Ошибка: считать основание наибольшей допустимой цифрой. Это происходит потому, что основание и цифры часто называют рядом, но основание на единицу больше максимальной цифры: при основании 5 наибольшая цифра — 4. Проверка простая: выпишите цифры от 0 до основания минус 1.
Ошибка: использовать цифру, равную основанию или большую него, например 2 в двоичной системе. Иногда запись кажется привычной, и ученик проверяет её по правилам десятичной системы. Перед вычислениями сравните каждую цифру с основанием: все цифры должны быть меньше него.
Ошибка: неверно отсчитывать степени при разложении позиционной записи. Часто отсчёт начинают слева или присваивают единицам степень 1, хотя справа разряды начинаются со степени 0. Для самопроверки подпишите степени справа налево: 0, 1, 2 и далее.
Ошибка: считать, что одна и та же запись всегда имеет одинаковое значение. Причина в том, что основание иногда не указывают и по привычке читают число как десятичное. Проверьте индекс основания и пересчитайте запись через степени; например, 10₂ означает 2₁₀, а 10₁₀ — десять.
Для изучения систем счисления понадобятся знания о натуральных числах, цифрах и разрядной записи десятичных чисел. Если понятно, что в десятичной записи соседние разряды различаются в десять раз, легче увидеть общий принцип позиционной записи. Позже эти знания пригодятся при изучении представления информации в компьютере и двоичного кодирования. Перевод чисел между системами поможет понять, как компьютерные данные связаны с привычными числами.
Чем цифра отличается от числа?
Цифра — это знак, которым записывают число, например 7 или 0. Число выражает количество или величину и может состоять из одной или нескольких цифр: число 27 записано цифрами 2 и 7.
Почему в системе с основанием 5 нельзя использовать цифру 5?
Основание 5 означает, что в системе есть пять цифр: 0, 1, 2, 3 и 4. Цифра 5 уже обозначила бы следующий разряд, поэтому для неё в этой системе нет отдельного знака.
Что показывает основание системы счисления?
Основание показывает, сколько разных цифр используется для записи чисел. В позиционной системе оно также определяет, во сколько раз отличаются значения соседних разрядов.
Почему в позиционной системе одна и та же цифра может иметь разное значение?
Значение цифры зависит от разряда, то есть от её места в записи. Например, в числе 55 первая цифра 5 обозначает пять десятков, а вторая — пять единиц.
Зачем компьютерам нужна двоичная система счисления?
Электронным устройствам удобно различать два устойчивых состояния, которые условно обозначают цифрами 0 и 1. Поэтому данные и команды можно кодировать двоичными последовательностями.
§ 1. Что такое системы счисления
