"Информатика (в 2-х частях)", Горячев А.В., Герасимова В.Г., Макарина Л.А., Островский С.Л., Паволоцкий А.В., Семёнов А.А., Юдина А.Г., Чернышёва Т.Л.
Математическая логика изучает высказывания и правила, по которым из них строят новые утверждения. Она помогает точно определять, истинно или ложно сообщение, разбирать условия и проверять рассуждения. Высказывания обозначают буквами, а логические операции связывают их в составные выражения. Главное — помнить, что значение такого выражения зависит от значений его частей и правил операции; эти правила удобно записывать в таблице истинности.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Высказывание — повествовательное предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Например, фраза «7 — простое число» сообщает факт и допускает проверку. Это понятие нужно, чтобы отличать логические утверждения от вопросов и просьб. С высказываниями можно выполнять логические операции.
Истинность высказывания — соответствие его содержания действительности; значение обозначают, например, буквой И. Утверждение «7 — простое число» истинно, потому что 7 делится только на 1 и на себя. Обозначение позволяет кратко записывать и сравнивать значения. Оно пригодится, когда высказывания объединяют в выражения.
Ложность высказывания — несоответствие его содержания действительности; значение обозначают, например, буквой Л. Например, фраза «7 — чётное число» ложна, потому что 7 не делится на 2 без остатка. Ложное утверждение всё равно остаётся высказыванием: у него просто другое значение. Это различие нужно учитывать при вычислении составных выражений.
Логическое отрицание — операция, которая образует из высказывания новое, противоположное ему по истинности. Если исходное утверждение истинно, его отрицание ложно, и наоборот. Отрицание обозначают знаком ¬: для высказывания A записывают ¬A. Так можно точно указать, что исходное утверждение неверно.
Не всякое предложение подходит для логических рассуждений. Вопрос «Который час?» просит сообщить сведения, а команда «Открой тетрадь» побуждает к действию: ни одно из них не утверждает факт. Слова вроде «интересный» или «скоро» могут пониматься по-разному без уточнения условий. Поэтому вопросительные, побудительные и неопределённые выражения обычно нельзя однозначно оценить как истинные или ложные.
Чтобы рассуждать короче, высказывания обозначают буквами A, B и другими. Каждой букве приписывают значение И или Л, потому что логические операции работают именно со значениями утверждений. Например, A может означать «Снег белый», а B — «Снег горячий». Когда значения известны, можно определить результат более сложного выражения.
Простые высказывания объединяют логическими операциями и получают составные. Например, из утверждений «Идёт дождь» и «Дует ветер» можно составить фразу «Идёт дождь и дует ветер». Её значение зависит от истинности обеих частей и от того, какая операция их связывает. Если изменить значение хотя бы одной части, результат иногда тоже изменится.
Отрицание меняет значение на противоположное: истинное утверждение становится ложным, а ложное — истинным. Например, если «Число 8 чётное» истинно, то «Число 8 не является чётным» ложно. Поэтому отрицание ложного высказывания истинно: оно утверждает, что исходный неверный факт не выполняется. Это правило действует независимо от того, о чём именно говорится.
Для двух исходных высказываний возможны четыре сочетания значений: И и И, И и Л, Л и И, Л и Л. Таблица истинности перечисляет эти варианты и показывает результат операции для каждого из них. Так можно проверить составное выражение систематически, не полагаясь на догадку. Для большего числа исходных высказываний таблица также охватывает все сочетания, хотя строк становится больше.
| Операция | Обозначение | Когда составное высказывание истинно |
|---|---|---|
| Отрицание A | ¬A | Когда A ложно |
| Конъюнкция A и B | A ∧ B | Когда истинны и A, и B |
| Дизъюнкция A или B | A ∨ B | Когда истинно хотя бы одно из A и B |
Сначала определите, какие простые высказывания обозначены буквами и каковы их значения. Затем найдите в таблице нужную операцию и примените её правило: для «и» нужны две истинные части, а для «или» достаточно одной. Если используется отрицание, замените значение исходного высказывания на противоположное.
Задача 1. Определите, является ли высказывание «7 — простое число» истинным или ложным. Сначала проверим, что перед нами повествовательное утверждение о числе, а не вопрос или команда. Затем воспользуемся определением простого числа: оно имеет ровно два натуральных делителя. Проверка делителей позволит установить значение.
Ответ: высказывание истинно, его значение — И. Здесь сначала определили, можно ли оценивать предложение логически, а затем проверили сам факт. Такой порядок помогает не спутать грамматическую форму с правильностью утверждения.
Задача 2. Запишите отрицание высказывания «Все ученики класса пришли на урок» и определите, когда оно истинно. Слово «все» задаёт условие для каждого ученика, поэтому отрицание должно сообщать, что условие нарушено хотя бы для одного. Формулировка «Все ученики не пришли» была бы слишком сильной: она означала бы, что не пришёл никто. Нужно отрицать утверждение целиком, а не менять отдельное слово наугад.
Ответ: отрицание истинно, когда есть хотя бы один отсутствующий ученик. Если пришли все, оно ложно. Проверка двух случаев показывает, что отрицание имеет значение, противоположное исходному высказыванию.
Задача 3. Пусть A означает «число делится на 2», а B — «число больше 10». Найдите значения A ∧ B и A ∨ B для чисел 12 и 9. Важно не оценивать выражения сразу: сначала выясним истинность каждого простого условия для каждого числа. После этого применим правила конъюнкции и дизъюнкции. Так станет видно, почему одно и то же выражение может давать разные результаты.
Ответ: для 12 оба выражения истинны; для 9 оба ложны. Сначала мы проверили каждое условие отдельно, а потом учли смысл знаков ∧ и ∨. Если хотя бы одно условие для другого числа окажется истинным, дизъюнкция станет истинной, а конъюнкция может остаться ложной.
Ошибка — считать высказыванием любое предложение. Так происходит, потому что в обычной речи мы называем предложениями и вопросы, и команды. Но фразу «Закрой окно!» нельзя признать истинной или ложной: она побуждает к действию. Проверяйте себя вопросом: утверждает ли предложение факт, который можно однозначно оценить?
Ложное высказывание иногда путают с тем, истинность которого пока неизвестна. Незнание ответа относится к тому, кто проверяет, а не к самому утверждению. Например, измерение может ещё не проводиться, но результат измерения в заданных условиях будет истинным или ложным. Для самопроверки уточните условия и выясните, допускает ли утверждение только одно из этих значений.
Не всегда достаточно добавить слово «не», чтобы правильно построить отрицание. Если изменить не ту часть фразы, смысл может стать другим: отрицание «Все пришли» — «Не все пришли», а не обязательно «Никто не пришёл». Ошибку допускают, когда механически переставляют слова. Проверьте формулировку на двух случаях: когда исходное утверждение истинно и когда оно ложно.
Дизъюнкцию ошибочно понимать как выбор ровно одного варианта. В повседневной речи «или» иногда звучит именно так, поэтому возникает путаница. В логике A ∨ B истинно, если истинно хотя бы одно высказывание, в том числе оба сразу. Для проверки отдельно рассмотрите случай, когда истинны A и B одновременно.
Для работы с высказываниями полезно различать повествовательные, вопросительные и побудительные предложения. Также нужно уметь понимать, что именно утверждает фраза: это помогает не спутать отрицание всего высказывания с изменением одного слова. Такие навыки нужны не только в математике, но и при чтении условий задач. Они помогают формулировать рассуждения точно и понятно.
Логические операции пригодятся при изучении алгоритмов и программ. Условие в алгоритме может проверять сразу несколько требований: например, число должно быть положительным и чётным. Логические выражения позволяют записать такие проверки, а таблица истинности помогает понять, в каких случаях программа выполнит нужное действие. Поэтому освоенные правила станут основой для дальнейшего изучения условий в коде.
Может ли высказывание быть одновременно истинным и ложным?
Нет: в обычной математической логике высказывание в заданных условиях имеет одно значение — истинное или ложное. Если ответ пока не установлен, это не означает, что высказывание одновременно и истинно, и ложно.
Является ли вопрос «Который час?» высказыванием?
Нет, это вопросительное предложение: оно не утверждает факт, который можно оценить как истинный или ложный. Ответ на вопрос может быть высказыванием, например: «Сейчас три часа».
Как правильно сформулировать отрицание высказывания?
Нужно выразить, что исходное утверждение неверно, сохранив его смысл и область действия. Например, отрицание фразы «Все ученики пришли на урок» — «Не все ученики пришли на урок», то есть хотя бы один ученик не пришёл.
Почему логическое «или» может быть истинным, если истинны оба высказывания?
В логике дизъюнкция A или B означает, что истинно хотя бы одно из двух высказываний. Поэтому она остаётся истинной и в случае, когда истинны сразу оба.
Зачем составлять таблицу истинности?
Таблица перечисляет все сочетания значений исходных высказываний. По правилам логических операций для каждой строки можно определить, истинно или ложно составное выражение, не пропустив возможный вариант.
§ 1. Знакомство с математической логикой
