"Информатика (в 2-х частях)", Горячев А.В., Герасимова В.Г., Макарина Л.А., Островский С.Л., Паволоцкий А.В., Семёнов А.А., Юдина А.Г., Чернышёва Т.Л.
Среднее значение помогает кратко описать набор чисел и сравнить несколько групп наблюдений. В этой теме его находят как среднее арифметическое: складывают все исходные значения и делят сумму на их количество. Такой показатель можно понимать как результат равномерного распределения общей суммы между наблюдениями. Среднее удобно для анализа, но не показывает, насколько сильно значения отличаются друг от друга.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Исходные данные — это набор числовых значений, который анализируют. Каждое значение относится к отдельному наблюдению: например, число прочитанных за день страниц — к одному дню. Набор исходных данных нужен, чтобы описывать и сравнивать результаты наблюдений, а не рассматривать числа по одному.
Среднее арифметическое — сумма всех значений набора, делённая на количество значений. Если значения обозначить x₁, x₂, …, xₙ, а их количество — n, формула будет такой: xср = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n. Эта запись помогает не забыть ни одно слагаемое и показывает, на что именно делят сумму.
Среднее значение — показатель, которым описывают набор данных и сравнивают группы. В этой теме средним значением называют среднее арифметическое, поэтому для его нахождения используют указанную формулу. Показатель удобен, когда нужно получить одно число для краткого сравнения, но он не заменяет весь набор наблюдений.
Чтобы найти среднее, сначала сложите все исходные значения, а затем определите, сколько их всего. После этого разделите сумму на количество наблюдений. Делить нужно именно на это число: каждое исходное значение учитывается один раз, а результат показывает величину, приходящуюся в среднем на одно наблюдение.
Среднее можно представить как равномерное распределение общей суммы между всеми наблюдениями. Например, если четыре человека вместе набрали 20 очков, среднее равно 20 : 4 = 5 очков. Это не утверждение, что каждый действительно набрал ровно пять: так выглядел бы результат, если бы общую сумму распределили поровну.
Чтобы сравнить две группы, найдите среднее для каждой из них отдельно, пользуясь одной и той же формулой. Затем сравните полученные числа: большее среднее говорит о большем среднем значении показателя в этой группе. Это помогает сравнивать группы разного размера, поскольку их суммы зависят не только от результатов, но и от количества наблюдений.
Одного среднего недостаточно, чтобы полностью описать набор. Например, значения могут быть сгруппированы рядом со средним или сильно от него отличаться; при этом средние способны совпасть. Поэтому для более точного вывода учитывают и сами значения, и их разброс — то, насколько далеко они отстоят друг от друга.
После вычисления проверьте, не слишком ли велик или мал результат по сравнению с исходными числами. Среднее арифметическое должно лежать между наименьшим и наибольшим значениями набора. Если оно оказалось за этими границами, вероятно, допущена ошибка в сложении или делении; также полезно оценить, правдоподобен ли его порядок.
| Ситуация | Что делать | Что показывает результат |
|---|---|---|
| Один набор чисел | Сложить все значения и разделить сумму на их количество | Центральный показатель набора |
| Сравнение двух наборов | Вычислить среднее для каждого набора отдельно | Какой набор имеет большее среднее значение |
| Проверка результата | Сравнить среднее с минимальным и максимальным значениями | Помогает заметить ошибку в вычислении |
| Оценка ограничений | Учесть разброс и необычно большие или малые значения | Почему среднего может быть недостаточно для вывода |
Выберите строку, которая соответствует вашей задаче, и выполните действие из второго столбца. Третий столбец поясняет, какой вывод допустимо сделать по полученному результату. Если нужно сравнить группы, сначала найдите отдельное среднее для каждой.
Найдите среднее арифметическое чисел 4, 6 и 8. Здесь дан один набор из трёх значений, поэтому сначала нужно получить его общую сумму. Затем эту сумму распределим поровну между тремя числами.
Ответ: среднее арифметическое равно 6. Оно совпало с одним из исходных чисел, но такое совпадение не обязательно для других наборов.
За пять дней ученик прочитал 12, 15, 9, 14 и 10 страниц. Найдите среднее число страниц за день и объясните, что означает результат. Поскольку наблюдение проводилось каждый день, учитываем все пять значений и делим сумму на пять.
Ответ: в среднем ученик читал 12 страниц за день. Это означает, что при равномерном распределении всех 60 страниц на пять дней на каждый день пришлось бы по 12 страниц. Фактическое число страниц в отдельный день могло быть и больше, и меньше.
Средние результаты двух групп одинаковы: в первой значения 6, 7, 8, а во второй — 2, 7, 12. Можно ли считать результаты групп одинаковыми? Чтобы ответить, проверим средние и сравним не только их, но и сами значения: именно так обнаруживается ограничение среднего.
Ответ: средние результаты равны 7, но считать наборы одинаковыми нельзя. Среднее не показывает, насколько велик разброс отдельных результатов.
Ошибка: разделить сумму не на количество значений, а на другое число. Так бывает, если число наблюдений не пересчитали или приняли количество дней за количество значений неверно. Проверьте набор и запишите число элементов отдельно, прежде чем делить.
Ошибка: забыть одно из исходных значений при сложении. В таком случае в сумме окажутся не все наблюдения, и результат изменится. Чтобы проверить себя, можно последовательно отмечать учтённые числа или сложить их в другом порядке.
Ошибка: сравнивать суммы наборов разного размера вместо средних. У группы с большим количеством наблюдений сумма может оказаться больше даже при меньших результатах в среднем. Пересчитайте среднее каждой группы отдельно и только потом сопоставляйте показатели.
Ошибка: считать, что среднее обязательно есть среди исходных значений или полностью описывает набор. Среднее бывает дробным и не отражает разброс; например, оно может не совпадать ни с одним числом. Проверьте границы набора и отдельно посмотрите, насколько различаются его значения.
Для вычисления среднего нужны знакомые действия: сложение чисел и подсчёт элементов набора. Поэтому перед решением важно аккуратно определить, какие значения относятся к наблюдениям и сколько их. Эти умения помогают не потерять данные и выбрать правильный делитель.
Среднее применяют при анализе результатов измерений, успеваемости и других числовых данных: например, можно оценить типичный результат за несколько дней. Сравнение средних помогает сопоставлять наборы, но для более полного анализа понадобятся и другие статистические характеристики. Так тема подготавливает к дальнейшему изучению способов описания данных.
Как найти среднее арифметическое нескольких чисел?
Сложите все числа, а затем разделите полученную сумму на количество чисел. Например, для 4, 6 и 8 сумма равна 18, а среднее — 18 : 3 = 6.
Почему сумму нужно делить именно на количество значений?
Каждое число относится к отдельному наблюдению, поэтому нужно равномерно распределить общую сумму между всеми наблюдениями. Количество значений показывает, на сколько частей её делить.
Может ли среднее значение не входить в исходный набор?
Да, среднее не обязано совпадать с каким-либо исходным числом. Например, у чисел 1 и 2 среднее равно 1,5.
Можно ли сравнивать по среднему наборы разного размера?
Да, если вычислить среднее отдельно для каждого набора. Суммы напрямую сравнивать не стоит: у более крупного набора сумма может быть больше только потому, что в нём больше значений.
Почему одинаковое среднее не означает одинаковые данные?
Среднее показывает общий центральный показатель, но не то, насколько значения разбросаны. Например, наборы 6, 7, 8 и 2, 7, 12 имеют одинаковое среднее, хотя отдельные значения в них различаются.
§ 2. Анализ исходных данных по среднему значению
