"Информатика (в 2-х частях)", Горячев А.В., Герасимова В.Г., Макарина Л.А., Островский С.Л., Паволоцкий А.В., Семёнов А.А., Юдина А.Г., Чернышёва Т.Л.
Системы счисления позволяют записывать числа разными наборами цифр. В позиционной системе значение цифры зависит от её места, а веса мест задаются основанием. Чтобы перевести число в десятичную систему, его раскладывают на разрядные слагаемые и вычисляют их значения. Для обратного перевода целое десятичное число последовательно делят на новое основание, а остатки читают в обратном порядке. Эти способы помогают понимать запись чисел и пригодятся при изучении двоичной арифметики.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Позиционная система счисления — способ записи чисел, в котором значение цифры зависит от её места и основания системы. Например, цифра 1 в числе 10 означает десять единиц, а в числе 100 — сто. Это понятие нужно, чтобы понимать, почему одна и та же цифра может вносить разный вклад в число.
Основание системы счисления — число, которое задаёт количество используемых цифр и веса разрядов. В десятичной системе основание равно 10, а в двоичной — 2. Основание помогает определить, какие знаки можно использовать и как вычислять значение записи.
Разряд числа — позиция цифры в записи числа, которой соответствует определённый вес. Вес разряда равен основанию системы, возведённому в степень, соответствующую позиции: у крайней справа цифры целой части степень нулевая. Это позволяет вычислять вклад каждой цифры в общее значение.
Допустимые цифры в системе с основанием b имеют значения от 0 до b − 1. Например, в системе с основанием 8 используют цифры от 0 до 7. Если значение цифры равно основанию или больше него, запись не соответствует этой системе.
Позиционное число можно представить как сумму произведений цифр на веса их разрядов. Для записи (aₙ…a₁a₀)ᵦ это означает aₙ·bⁿ + … + a₁·b¹ + a₀·b⁰. Каждый множитель показывает, сколько разрядных единиц данного веса содержится в числе. Сложение этих вкладов возвращает значение числа.
В дробной части разряды находятся справа от запятой, поэтому их веса меньше единицы. Первая цифра после запятой умножается на b⁻¹, следующая — на b⁻² и так далее. Отрицательная степень означает обратную величину: например, b⁻¹ = 1/b. Поэтому дробные разряды тоже можно включить в сумму по степеням основания.
Перевод в десятичную систему — это вычисление разложения числа по разрядам. Сначала каждой цифре сопоставляют её вес, затем умножают и складывают полученные значения. У целой части степени идут справа налево от нуля вверх, а у дробной — от запятой вправо от −1 вниз. Такая запись показывает и значение цифр, и причину их разного вклада.
Чтобы перевести целое десятичное число в систему с основанием b, число последовательно делят на b и каждый раз записывают остаток. Частное снова делят на b, пока оно не станет равно нулю. Остатки всегда меньше b, поэтому могут служить цифрами новой записи. При делении число раскладывается на единицы нового основания, затем на группы следующего разряда.
Остатки читают в обратном порядке, потому что первое деление определяет младший разряд. Оно показывает, сколько единиц остаётся после выделения групп по b. Следующие деления находят остатки для более старших разрядов, а последнее ненулевое частное задаёт старшую цифру. Проверить ответ можно, разложив запись по степеням нового основания и сравнив полученное значение с исходным.
| Характеристика | Из произвольной системы в десятичную | Из десятичной системы в систему с основанием b |
|---|---|---|
| Исходные данные | Запись числа и основание системы | Целое десятичное число и новое основание b |
| Основное действие | Умножение цифр на степени основания и сложение | Последовательное деление на b |
| Порядок действий | Определить вес каждого разряда, вычислить произведения, сложить | Делить частное, пока оно не станет нулём |
| Как получить цифры результата | Выполнить вычисления и записать значение в десятичной системе | Записать остатки в порядке, обратном их получению |
| Проверка | Оценить вычисления по разрядам | Перевести запись обратно в десятичную систему |
Сначала определите, в какую сторону выполняется перевод: от произвольного основания к десятичному или наоборот. В первом случае считайте разрядные слагаемые, во втором — выполняйте деление с остатком. Строка «Проверка» напоминает, как убедиться, что результат имеет нужное значение.
В двоичной записи допустимы только цифры 0 и 1. Чтобы найти значение числа, сопоставим крайним справа разрядам степени основания, начиная с нуля. Нулевые разряды можно не учитывать в сумме, но полезно показать их при вычислении.
Каждая единица указывает на наличие соответствующего разряда, а ноль означает, что разряд не добавляет значения. Ответ: (101101)₂ = 45₁₀.
В шестнадцатеричной системе основание равно 16, а буква A обозначает цифру со значением 10. Перед вычислением проверим допустимость знаков: 3, 10 и 7 меньше 16. Затем умножим их на веса разрядов от младшего к старшему.
Число A здесь не является десятичной цифрой в записи, а обозначает значение 10. Ответ: (3A7)₁₆ = 935₁₀.
Будем делить исходное число и получающиеся частные на 7, сохраняя остатки. Каждый остаток меньше 7, поэтому является допустимой цифрой результата. Дойдём до нулевого частного, а затем прочитаем остатки снизу вверх.
Проверка: 5·7² + 0·7¹ + 0·7⁰ = 5·49 = 245. Ответ: 245₁₀ = (500)₇.
Ошибка — считать основание наибольшей цифрой системы. Основание на единицу больше максимального значения допустимой цифры: например, после цифр от 0 до 6 следует основание 7. Так ошибаются, смешивая число знаков и значение последнего знака. Для проверки прибавьте единицу к наибольшей допустимой цифре.
Если степени основания назначены неверно, значение числа тоже изменится. У целой части отсчёт начинается справа: крайний разряд имеет степень 0, следующий — 1, затем 2 и далее. Часто начинают нумерацию не с того края или с единицы. Проверьте, что степень увеличивается на один при каждом шаге влево.
При переводе делением остатки нельзя записывать в порядке их получения. Первым появляется остаток младшего разряда, поэтому прямой порядок переворачивает запись. Ошибку легко заметить, выполнив обратный перевод: значение обычно не совпадёт с исходным. Читайте остатки снизу вверх, начиная с последнего полученного.
Недопустимая цифра не может иметь значение, равное основанию или больше него. Например, цифра 7 не подходит для системы с основанием 7, даже если остальные знаки записаны верно. Такая ошибка возникает, когда основание путают с максимальной цифрой. Перед вычислениями сравните каждое значение цифры с основанием.
Для перевода понадобятся умения записывать целые числа, умножать и складывать, работать со степенями и выполнять деление с остатком. Без этих действий нельзя вычислить разрядные слагаемые или получить остатки при делении. При изучении представления данных в компьютере станет понятно, почему используются разные системы счисления. Переводы также подготовят к двоичной арифметике, в которой вычисления выполняются с цифрами 0 и 1.
Почему основание системы счисления не может быть меньше двух?
Основание показывает, сколько разных цифр используется в системе. При основании 1 можно было бы использовать только цифру 0, поэтому позиционная запись не позволяла бы удобно выражать числа разными разрядами. Для систем счисления используют основания от 2.
Как определить, допустима ли цифра в данной системе счисления?
Сравните значение цифры с основанием системы. Допустимы цифры от 0 до b − 1, где b — основание. Например, в системе с основанием 7 цифра 6 допустима, а 7 — нет.
Почему при переводе в десятичную систему нужно использовать степени основания?
Каждый разряд имеет свой вес: он равен основанию, возведённому в степень номера разряда. Поэтому значение цифры зависит не только от самой цифры, но и от её позиции. Умножение цифр на веса разрядов и сложение результатов дают значение всего числа.
Почему остатки при переводе целого числа читают снизу вверх?
Первое деление на новое основание даёт остаток младшего разряда, то есть последнюю цифру результата. Следующие остатки соответствуют всё более старшим разрядам. Поэтому цифры записывают в порядке, обратном получению остатков.
Как проверить, правильно ли выполнен перевод числа?
Переведите полученную запись обратно в исходную систему и сравните значения. Например, после перевода из десятичной системы разложите ответ по степеням нового основания. Если получилось исходное число, перевод выполнен верно.
§ 2. Перевод числа из произвольной системы счисления в десятичную. Перевод целого числа из десятичной системы счисления в произвольную
