§ 3. Переход между системами счисления, основания которых — степени двойки

Определения и обозначения

Двоичная система счисления — позиционная система, в которой используются цифры 0 и 1. В позиционной системе значение цифры зависит от её места в записи числа. Двоичная запись удобна компьютерам, но длинные последовательности нулей и единиц трудно читать. Поэтому для краткой записи двоичных чисел часто используют системы с основаниями 8 и 16.

Восьмеричная система счисления — система с основанием 8, в которой используются цифры от 0 до 7. Каждая её цифра соответствует группе из трёх двоичных разрядов. Это позволяет записывать длинную двоичную последовательность компактнее, не меняя значения числа.

Шестнадцатеричная система счисления — система с основанием 16, использующая цифры от 0 до 9 и буквы A–F. Буквы обозначают значения от 10 до 15, которых не хватает среди десяти привычных цифр. Каждая шестнадцатеричная цифра соответствует четырём двоичным разрядам, поэтому эта система особенно удобна для краткой записи двоичных данных.

Триада — группа из трёх двоичных разрядов, а тетрада — группа из четырёх. Триады нужны для перехода между двоичной и восьмеричной системами, тетрады — между двоичной и шестнадцатеричной. Если помнить размер группы, перевод можно выполнить простой заменой, не вычисляя значение всего числа.

Как это устроено

Основания 8 и 16 удобны для перехода из двоичной системы, потому что они являются степенями двойки: 8 = 2³, 16 = 2⁴. Три двоичных разряда могут образовать восемь разных комбинаций — от 000 до 111, и каждой соответствует одна цифра от 0 до 7. Четыре разряда дают шестнадцать комбинаций — от 0000 до 1111, которым соответствуют знаки от 0 до 9 и A–F. Поэтому группа разрядов точно помещается в одну цифру новой системы.

Чтобы перевести двоичное целое число в восьмеричное, разбей запись на триады, начиная справа. Левая группа может оказаться короче трёх разрядов; добавь к ней нули слева, чтобы она стала полной. Нули слева не меняют значение целого числа, зато позволяют правильно сопоставить группе восьмеричную цифру. После этого замени каждую триаду цифрой от 0 до 7.

При переводе двоичной дроби в восьмеричную запятая служит границей, от которой строятся группы. Целую часть разделяй по три разряда влево, а дробную — по три вправо: так каждый разряд остаётся на своём месте относительно запятой. Если в целой части не хватает разрядов, добавь нули слева; если неполной оказалась дробная группа — справа. Добавленные нули не изменяют число, но обеспечивают полные триады.

Для перевода в шестнадцатеричную систему действуй так же, но собирай тетрады по четыре разряда. Целые группы отсчитывай от запятой влево, дробные — вправо, а недостающие разряды дополняй нулями с внешнего края группы. Каждую тетраду сопоставь числу от 0 до 15: значения до 9 записываются цифрами, а значения от 10 до 15 — буквами A–F. Благодаря этому четыре двоичных знака заменяются одним шестнадцатеричным.

Обратный переход выполняется заменой каждой цифры соответствующей группой фиксированной длины. Восьмерочную цифру запиши тремя двоичными разрядами, а шестнадцатеричную — четырьмя; если в группе в начале есть нули, их нельзя отбрасывать. Для дробного числа поставь запятую между группами, которые относятся к целой и дробной частям. Так сохраняются и положение разрядов, и значение исходного числа.

Переходы между двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами

Сначала выбери строку, соответствующую направлению перевода, и определи размер группы. При переводе из двоичной системы группируй разряды, а при обратном переходе замещай каждый знак готовой группой. Для чисел с дробной частью сохраняй запятую между целыми и дробными группами.

Разбор задач

Задача 1. Перевести число 101101₂ в восьмеричную систему. Здесь нет дробной части, поэтому делим запись на группы по три, начиная справа. Каждую полученную триаду читаем как двоичное число и заменяем одной восьмеричной цифрой.

1. Разбиваем запись справа: 101 101.
2. Переводим триады: 101₂ = 5, 101₂ = 5.
3. Записываем цифры в исходном порядке: 55₈.

Ответ: 101101₂ = 55₈. Проверить результат можно обратной заменой: обе цифры 5 превращаются в 101, поэтому получается исходная запись.

Задача 2. Перевести число 11010110₂ в шестнадцатеричную систему. Тетрады отсчитываем справа, так как число целое. В левой группе не хватает одного разряда, поэтому добавим ноль слева: это не меняет значение числа и позволяет сопоставить группе шестнадцатеричную цифру.

1. Группируем разряды справа и дополняем слева: 1101 0110.
2. Переводим каждую тетраду: 1101₂ = 13, а 0110₂ = 6.
3. Заменяем 13 буквой D, а 6 оставляем цифрой 6.

Ответ: 11010110₂ = D6₁₆. Буква D обозначает значение 13, а не отдельную двоичную цифру. При обратном переводе D даёт 1101, а 6 — 0110.

Задача 3. Перевести число 1011,011₂ в восьмеричную систему и проверить результат обратным переводом. Запятая разделяет целую и дробную части, поэтому триады собираем отдельно по обе стороны от неё. Слева возможен недобор разрядов у целой части, а справа — у дробной; нули добавляем с разных сторон, чтобы сохранить значение.

1. Группируем и дополняем: 001 011, 011.
2. Заменяем триады: 001₂ = 1, 011₂ = 3, 011₂ = 3.
3. Сохраняем положение запятой и получаем 13,3₈.
4. Для проверки заменяем цифры обратно: 1 → 001, 3 → 011 и 3 → 011. Получаем 001 011,011, то есть после удаления лишних нулей слева — 1011,011₂.

Ответ: 1011,011₂ = 13,3₈. Обратный перевод восстановил исходную запись, значит группы и положение запятой выбраны верно.

Типичные ошибки

Если группировать разряды от края всей записи, а не от запятой, группы дробной части сместятся. Так бывает, когда число воспринимают как одну непрерывную строку и не замечают границу целой и дробной частей. Проверь себя: запятая должна оставаться между отдельными группами, а отсчёт в каждой части начинается именно от неё.

Нули иногда добавляют не с той стороны: например, дополняют дробную группу слева или целую справа. Причина — попытка просто сделать группу нужной длины, не учитывая, какие разряды можно дописать без изменения числа. Запомни правило: целую часть дополняют слева, дробную — справа; затем сравни положение запятой и исходных разрядов.

При обратном переводе можно случайно отбросить ведущий ноль внутри группы. Например, восьмеричной цифре 3 соответствует не только запись 11, а именно три разряда 011; для шестнадцатеричной цифры всегда нужны четыре. Чтобы проверить себя, пересчитай знаки в каждой группе: их должно быть ровно три или четыре, даже если первый знак — ноль.

Буквы A–F иногда принимают за обычные буквы или считают, что A — это десятичная цифра. Но в шестнадцатеричной системе это обозначения значений 10–15, введённые потому, что цифр от 0 до 9 недостаточно. Проверяй соответствие по порядку: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15; при переводе каждой такой буквы в двоичную запись ей соответствует тетрада.

Связь с другими темами

Для группировки разрядов нужно понимать позиционную запись числа: разряд определяет его место и вклад в значение. Также важно уметь читать двоичные числа и различать разряды до и после запятой. Эти знания помогают не смещать границу между целой и дробной частями при переводе.

Связь с 8 = 2³ и 16 = 2⁴ позволяет компактно записывать двоичные данные без пересчёта всего числа. Восьмеричная и шестнадцатеричная формы встречаются в информатике, например при работе с адресами памяти и представлением данных. Тот же приём группировки помогает быстро переходить между разными формами записи одного значения.

Что запомнить

• 8 = 2³, поэтому одной восьмеричной цифре соответствуют три двоичных разряда.
• 16 = 2⁴, поэтому одной шестнадцатеричной цифре соответствуют четыре двоичных разряда.
• Группы целой части отсчитывают от запятой влево, дробной — вправо.
• Неполную группу целой части дополняют нулями слева, а дробной — справа.
• При обратном переводе каждая группа должна содержать ровно три или четыре двоичных разряда.
• В шестнадцатеричной системе A, B, C, D, E, F обозначают значения 10, 11, 12, 13, 14, 15.