§ 5. Перевод правильной десятичной дроби в произвольную систему счисления

Определения и обозначения

Правильная десятичная дробь — число больше 0 и меньше 1, например 0,7. При переводе такой дроби целая часть не рассматривается: она равна нулю, поэтому перед запятой в новой записи тоже ставят 0. Нужно найти только цифры после запятой.

Основание системы счисления — целое число b, большее 1. Оно показывает, сколько разных цифр используется в системе и во сколько раз отличаются соседние разряды. У дробных разрядов веса 1/b, 1/b², 1/b³ и далее: чем дальше разряд от запятой, тем меньше его вклад в число.

Цифра дробного разряда — целая часть очередного произведения текущего дробного остатка на основание b. Она становится очередным знаком после запятой в записи результата. Первая такая цифра занимает разряд с весом 1/b, вторая — с весом 1/b², третья — с весом 1/b³.

Период дробной записи — повторяющаяся последовательность цифр после запятой. Период появляется, когда в процессе перевода снова возникает уже встречавшийся дробный остаток. Дальнейшие умножения тогда повторяют прежние шаги и дают ту же последовательность цифр.

Как это устроено

В записи числа каждый разряд умножается на свой вес. После запятой в системе с основанием b идут веса 1/b, 1/b² и далее, поэтому умножение дроби на b как бы сдвигает разрядные веса на одно место. Из-за этого следующая цифра дробной записи переходит в целую часть произведения. Именно так умножение помогает извлечь цифры по очереди.

Чтобы найти первую цифру результата, исходную дробь умножают на основание новой системы. Целая часть произведения показывает, сколько целых единиц веса 1/b содержится в этой дроби, поэтому её записывают первой после запятой. Дробная часть произведения — это то, что осталось после выделения найденной цифры. Она не пропадает и содержит информацию о следующих разрядах.

Затем на основание умножают не исходное число, а полученный остаток. Так следующая цифра определяется именно той частью числа, которую ещё не описали записанные разряды. Каждый шаг оставляет новый остаток для дальнейших вычислений, поэтому цифры результата появляются по порядку. Если вместо остатка снова использовать исходную дробь, одни и те же цифры будут получаться заново, а разрядная запись окажется неверной.

Остаток может стать равным нулю: тогда больше нечего переводить, и последующие разряды не вносят вклада. Запись в таком случае конечна. Если остаток не нулевой, но совпал с одним из предыдущих, дальнейший ход вычислений повторится, ведь для умножения снова подано то же число. Поэтому повторятся и целые части произведений, то есть возникнет период.

Полученные цифры можно проверить по разрядным весам. Первую умножают на 1/b, вторую — на 1/b², третью — на 1/b³ и складывают результаты. Сумма должна равняться исходной десятичной дроби. Проверка помогает заметить перепутанные цифры или ошибку в вычислениях остатков.

Шаги перевода правильной дроби в систему с основанием b

Двигайтесь по строкам сверху вниз: каждый раз переносите в следующий шаг только новую дробную часть. Целые части произведений выписывайте отдельно и в том же порядке — они образуют результат после запятой. Ноль в столбце остатка означает конец вычислений, а повтор остатка подсказывает, где начнётся период.

Разбор задач

Перевести десятичную дробь 0,625 в двоичную систему счисления

В двоичной системе основание b = 2, поэтому каждый остаток будем умножать на 2. Целые части произведений запишем по порядку после запятой. Остановимся, когда остаток станет нулевым.

1. Начинаем с 0,625: 0,625 × 2 = 1,25. Целая часть равна 1 — это первая цифра результата, а новый остаток равен 0,25.
2. Умножаем остаток: 0,25 × 2 = 0,5. Записываем целую часть 0; остаток теперь 0,5.
3. Снова умножаем остаток: 0,5 × 2 = 1,0. Записываем 1, остаток стал равен нулю, значит, перевод закончен.

Цифры после запятой идут в том порядке, в котором мы их получили: 1, 0, 1. Следовательно, 0,625₁₀ = 0,101₂. Проверка по весам: 1 × 1/2 + 0 × 1/4 + 1 × 1/8 = 5/8 = 0,625.

Перевести десятичную дробь 0,7 в систему с основанием 5

Основание новой системы равно 5. Будем выписывать целые части произведений, а за остатком следить отдельно: он нужен для следующего шага. Если остаток повторится, дальше будет повторяться и ход вычислений.

1. 0,7 × 5 = 3,5. Первая цифра результата — 3, новый остаток — 0,5.
2. 0,5 × 5 = 2,5. Следующая цифра — 2, остаток снова равен 0,5.
3. Остаток повторился. Значит, каждое следующее умножение снова даст 2,5, и цифра 2 будет повторяться бесконечно.

После первой цифры 3 повторяется цифра 2, поэтому запись имеет вид 0,3(2)₅, где скобки обозначают период. Проверить результат можно сложением весов: 3 × 1/5 + 2 × (1/5² + 1/5³ + …) = 0,6 + 0,1 = 0,7. Здесь сумма повторяющихся разрядов равна 0,1 в десятичной записи.

Перевести десятичную дробь 0,2 в систему с основанием 3 и определить период

Умножаем остатки на 3 и записываем целые части результатов. Для определения периода нужно продолжать вычисления, пока остаток не станет нулём или не повторится. Каждый новый остаток сравниваем с теми, что уже встречались.

1. 0,2 × 3 = 0,6. Записываем 0; остаток — 0,6.
2. 0,6 × 3 = 1,8. Записываем 1; остаток — 0,8.
3. 0,8 × 3 = 2,4. Записываем 2; остаток — 0,4.
4. 0,4 × 3 = 1,2. Записываем 1; остаток снова равен 0,2 — исходному остатку.

После возврата к остатку 0,2 все шаги повторятся с самого начала. Значит, цифры 0, 1, 2, 1 будут повторяться, и 0,2₁₀ = 0,(0121)₃. Скобки показывают период, а не пропущенные цифры.

Типичные ошибки

Записывать дробную часть произведения вместо целой. Так делают, если воспринимают всё произведение как одну новую цифру. Но цифра очередного разряда — именно целая часть, а дробная остаётся для следующего шага. Проверьте себя: все записанные цифры должны быть допустимы в выбранной системе и меньше её основания.

На каждом шаге умножать исходную дробь. Ошибка возникает, когда забывают обновлять число для вычислений. Следует умножать новый остаток, иначе повторяются одни и те же результаты, а следующие разряды не учитывают уже выделенные цифры. Для самопроверки выписывайте остаток после каждого шага отдельно.

Считать остаток новой цифрой результата. Остаток может быть дробным, тогда как цифры системы — целые числа. Его назначение — перейти к следующему умножению; в запись переносится целая часть произведения. Проверяйте, что число выписанных цифр совпадает с числом выполненных шагов.

Продолжать вычисления после повторения остатка или считать бесконечную запись конечной. Повтор остатка означает, что дальнейшие умножения уже выполнялись и дадут те же цифры. Если записать лишь несколько шагов без обозначения периода, получится неполный ответ. Сравнивайте новый остаток со всеми предыдущими и отмечайте повтор.

Связь с другими темами

Для перевода нужно знать, что такое основание системы счисления, её цифры и разрядные веса: без них нельзя понять, какой смысл имеют знаки после запятой. Также пригодится умение умножать десятичные дроби и отделять целую часть произведения от дробной. Этот способ используют при переводе чисел между системами счисления; он помогает понять, как дробные значения представляются в двоичном виде при изучении данных в компьютере.

Что запомнить

• Перевод начинают с дробной части числа.
• На каждом шаге текущий остаток умножают на основание новой системы.
• Целая часть произведения становится очередной цифрой результата.
• Дробная часть произведения становится остатком для следующего шага.
• При нулевом остатке дробная запись заканчивается.
• Повтор остатка означает повторение следующих цифр.