"Информатика (в 2-х частях)", Горячев А.В., Герасимова В.Г., Макарина Л.А., Островский С.Л., Паволоцкий А.В., Семёнов А.А., Юдина А.Г., Чернышёва Т.Л.
Умножение и деление в позиционной системе счисления выполняют почти так же, как в десятичной: поразрядно, столбиком. Главное отличие — переносы и допустимые цифры зависят от основания системы. Например, в пятеричной системе после четырёх единиц разряда появляется перенос. Эти правила нужны, чтобы вычислять без перевода в десятичную систему и правильно работать с числами, которые использует компьютер.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Умножение в системе счисления с основанием b — вычисление произведения, при котором цифры результата и переносы записываются в этой же системе. Например, при умножении в системе с основанием 5 перенос определяется числом 5, а не числом 10. Это позволяет выполнять вычисления, не переводя числа в десятичную систему.
Деление в системе счисления с основанием b — нахождение частного и остатка с учётом цифр и разрядов этой системы. Цифра частного должна быть допустимой, то есть не превосходить b − 1. Это правило помогает правильно подбирать цифры при делении столбиком.
Перенос разряда — переход к следующему разряду, когда количество единиц текущего разряда достигает основания системы счисления. Например, пять единиц в разряде пятеричной системы заменяются одной единицей следующего разряда. Перенос нужен, чтобы записать результат только допустимыми цифрами.
Неполное частное — цифра частного, которую выбирают на очередном шаге деления столбиком. Она показывает, сколько раз делитель укладывается в рассматриваемой части делимого. Правильный выбор позволяет вычитать произведение делителя, не получая отрицательного остатка.
Письменные алгоритмы умножения и деления сохраняются в любой позиционной системе, потому что числа везде устроены по разрядам. Значение цифры зависит от её места, а соседние разряды отличаются в b раз. Поэтому можно действовать справа налево и переносить результат в следующий разряд; меняется только основание, по которому считают переносы.
Таблицу умножения для основания b можно получить из обычных вычислений, а затем записать результат в нужной системе. Произведение двух цифр представляют как число единиц текущего разряда и число полных групп по b. Остаток становится цифрой результата, а количество групп — переносом, потому что каждая полная группа равна одной единице следующего разряда.
При умножении столбиком цифры перемножают справа налево и прибавляют перенос, оставшийся от предыдущего шага. Полученную величину делят на b: остаток записывают в разряд ответа, целую часть переносят дальше. Затем находят частичные произведения для цифр второго множителя и складывают их, сдвигая каждое на число разрядов, соответствующее положению этой цифры.
Деление столбиком начинают с такой части делимого, которая не меньше делителя. Для неё подбирают наибольшую цифру частного, чтобы произведение делителя на эту цифру не превысило рассматриваемую часть. Произведение вычитают, к остатку сносят следующую цифру делимого и повторяют шаг: именно так частное строится по разрядам, а остаток постепенно уменьшается.
После вычислений полезно проверить результат обратным действием. Для умножения можно разделить произведение на один из множителей и получить другой. При делении нужно проверить равенство «делимое = делитель × частное + остаток» и убедиться, что остаток меньше делителя: это подтверждает, что деление завершено и ещё одну единицу частного выделить нельзя.
| Этап или свойство | Умножение | Деление |
|---|---|---|
| Как обрабатывают цифры | Умножают цифры и прибавляют перенос. | Подбирают цифру частного для текущей части делимого. |
| Как учитывают основание b | Делят сумму на b, чтобы найти остаток и перенос. | Используют цифры от 0 до b − 1 и разряды системы. |
| Что записывают в текущий разряд | Остаток от деления на b. | Выбранную цифру неполного частного. |
| Что переносят или сносят | Целую часть результата деления на b переносят дальше. | После вычитания сносят следующую цифру делимого. |
| Как проверить результат | Обратным действием — делением. | Равенством «делимое = делитель × частное + остаток». |
Сначала сравни строки таблицы с тем действием, которое выполняешь: это подскажет, что записывать в разряд и что делать дальше. Затем проверь, что учтено основание системы, а в делении — что остаток меньше делителя.
Умножаем справа налево, поскольку сначала считаются единицы. В пятеричной системе результат каждого шага нужно разделить на 5: остаток попадёт в ответ, а целая часть станет переносом. Здесь множитель состоит из одной цифры, поэтому достаточно двух разрядных шагов.
Умножаем цифры единиц: 3 × 4 = 12. В пятеричной записи 12₁₀ = 22₅, поэтому в разряд единиц записываем 2, а 2 переносим.
Умножаем цифры разряда пятёрок и прибавляем перенос: 2 × 4 + 2 = 10. Это 20₅: записываем 0, а 2 переносим в следующий разряд.
Записываем оставшийся перенос. Читаем результат слева направо: 202₅.
Ответ: 23₅ × 4₅ = 202₅. Проверка в десятичной системе: 23₅ = 13, а 202₅ = 52; действительно, 13 × 4 = 52.
Умножаем число 132₄ на каждую цифру множителя 23₄, начиная с единиц. Получившиеся частичные произведения записываем со сдвигом: второе умножение относится к разряду четвёрок. Все переносы находим делением на 4, а затем складываем результаты в той же системе.
Умножаем на 3: 2 × 3 = 6 = 12₄, записываем 2, переносим 1. Далее 3 × 3 + 1 = 10 = 22₄: записываем 2, переносим 2. Затем 1 × 3 + 2 = 5 = 11₄. Получаем 1122₄.
Умножаем на 2: 2 × 2 = 4 = 10₄, записываем 0 и переносим 1. Затем 3 × 2 + 1 = 7 = 13₄, записываем 3 и переносим 1. В старшем разряде 1 × 2 + 1 = 3. Частичное произведение — 330₄.
Так как цифра 2 множителя стоит в разряде четвёрок, сдвигаем 330₄ на один разряд: получаем 3300₄. Складываем 1122₄ + 3300₄ = 11022₄.
Ответ: 132₄ × 23₄ = 11022₄. Проверка: 132₄ = 30, 23₄ = 11, а 11022₄ = 330; произведение 30 × 11 равно 330.
Подбираем цифры частного слева направо. Сравниваем делитель с очередной частью делимого и выбираем наибольшую цифру, при которой произведение не превосходит эту часть. Если делитель не помещается, в разряд частного записываем 0 и сносим следующую цифру.
Первые две цифры делимого — 23₄, они равны делителю. Значит, первая цифра частного — 1; вычитаем 23₄ и получаем 0.
Сносим следующую цифру 1. Делитель 23₄ больше 1, поэтому в частное записываем 0 и сносим последнюю цифру 2. Получаем часть 12₄.
Делитель снова больше текущей части, поэтому в частном появляется ещё один 0. Частное равно 100₄, остаток — 12₄.
Ответ: 2312₄ : 23₄ = 100₄, остаток 12₄. Проверка: 23₄ × 100₄ + 12₄ = 2300₄ + 12₄ = 2312₄, причём 12₄ меньше 23₄.
При умножении иногда записывают произведение цифр так, как будто вычисление ведётся в десятичной системе. Так делают по привычке, забывая, что остаток и перенос нужно находить по основанию системы. Проверь каждый шаг делением на b: записанная цифра должна быть остатком, меньшим b.
Другая ошибка — переносить только единицу, если результат шага больше основания. Переносом является целая часть от деления результата на b, и она может быть больше 1. Чтобы проверить себя, раздели сумму произведения и предыдущего переноса на основание и отдельно найди частное и остаток.
Частичные произведения иногда складывают без разрядного сдвига. Ошибка возникает, если забыть, что цифра множителя означает количество единиц своего разряда, а не просто число. Перед сложением отметь, на сколько разрядов сдвигается каждое произведение, и проверь итог обратным действием.
При делении можно выбрать цифру частного, произведение которой больше текущего делимого. Тогда вычитание даст отрицательный остаток, значит, цифра выбрана слишком большой. Уменьши её и проверь результат шага: остаток должен быть неотрицательным, а после завершения деления — меньше делителя.
Для вычислений нужны знания о записи числа по разрядам, значении основания и допустимых цифрах. Также пригодятся перевод чисел между системами счисления и умение складывать и вычитать в них: вычитание особенно часто встречается внутри деления столбиком.
Навык применяется при вычислениях в двоичной и других системах счисления. Это помогает разбираться в том, как компьютер представляет и обрабатывает данные: числа в его памяти записываются не в десятичной системе.
Почему при умножении в системе с основанием 5 перенос считают не по 10?
Каждый разряд пятеричной системы содержит единицы соответствующей степени числа 5. Поэтому десять единиц текущего разряда — не условие переноса: перенос возникает при накоплении пяти единиц. Например, 3 × 4 = 12 в десятичной записи, а в пятеричной это 22₅: записываем 2 и переносим 2.
Как узнать, какую цифру записать в разряд результата при умножении?
Сложи произведение цифр и перенос из предыдущего шага. Раздели результат на основание системы: остаток запиши в текущий разряд, а целую часть перенеси в следующий. Остаток всегда будет цифрой от 0 до b − 1.
Почему частичные произведения при умножении нужно сдвигать?
Цифры второго множителя обозначают не только количество, но и разряд: единицы, десятки, сотни в выбранной системе. Поэтому произведение на цифру из разряда b нужно сдвинуть на один разряд влево, а из разряда b² — на два. Без сдвига значение результата будет неверным.
Как выбрать цифру частного при делении столбиком?
Выбери наибольшую допустимую цифру, при умножении на которую делитель не превосходит текущую часть делимого. Допустимы цифры от 0 до b − 1. После вычитания полученного произведения остаток должен быть неотрицательным.
Как проверить деление, если получился остаток?
Умножь делитель на частное и прибавь остаток: результат должен совпасть с делимым. Дополнительно проверь, что остаток меньше делителя. Если хотя бы одно условие не выполняется, в вычислении есть ошибка.
§ 6. Деление и умножение в позиционных системах счисления
