"Информатика (в 2-х частях)", Горячев А.В., Герасимова В.Г., Макарина Л.А., Островский С.Л., Паволоцкий А.В., Семёнов А.А., Юдина А.Г., Чернышёва Т.Л.
Запись числа в общем виде показывает, как его значение складывается из цифр и их разрядов. В позиционной системе одна и та же цифра может обозначать разные величины: например, в числе 352 цифра 3 означает три сотни. Основание системы определяет, во сколько раз отличаются соседние разряды. Если известны основание и цифры, число можно представить как сумму произведений каждой цифры на соответствующую степень основания — это правило работает и для десятичной, и для двоичной записи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Позиционная система счисления — способ записи чисел, в котором значение цифры зависит от её места. Например, цифра 3 в числе 352 обозначает три сотни, а в числе 32 — три десятка. Это правило помогает понять, почему для записи числа нужно учитывать не только цифры, но и их разряды.
Основание системы счисления — число, которое показывает, сколько разных цифр используют в системе и во сколько раз отличаются веса соседних разрядов. Основание десятичной системы равно 10, а двоичной — 2. Зная основание, можно определить вес каждой позиции и проверить, подходит ли для неё выбранная цифра.
Цифра — знак, с помощью которого записывают число. В системе с основанием q используют цифры от 0 до q − 1: например, в двоичной системе допустимы только 0 и 1. Это ограничение не позволяет спутать запись числа с записью в системе другого основания.
Запись числа в общем виде, или развёрнутая форма числа, — представление числа как суммы цифр, умноженных на соответствующие степени основания. Для этого каждой позиции назначают свой вес, а затем складывают разрядные слагаемые. Такой способ позволяет найти значение записи при любом известном основании.
В десятичной записи каждый разряд слева в десять раз весомее соседнего справа. Справа стоят единицы, затем десятки, сотни, тысячи: их веса равны 1, 10, 100, 1000. Это происходит потому, что при переходе в следующий разряд одна и та же цифра обозначает количество групп, в десять раз более крупных.
Пусть цифры числа записаны как aₙaₙ₋₁…a₁a₀ в системе с основанием q. Тогда число равно aₙ·qⁿ + aₙ₋₁·qⁿ⁻¹ + … + a₁·q + a₀. Каждое слагаемое показывает вклад одной цифры: сама цифра задаёт количество разрядных единиц, а степень q — размер такой единицы. Поэтому сумма этих вкладов и даёт значение всей записи.
Показатели степеней начинаются с нуля у крайней правой цифры, потому что она стоит в разряде единиц. Единица равна q⁰, а не q¹, так как умножение на 1 не меняет величину цифры. При движении влево каждый следующий разряд в q раз крупнее, поэтому показатель степени каждый раз увеличивается на единицу.
В двоичной системе основание равно 2, значит, веса разрядов справа налево равны 1, 2, 4, 8, 16 и далее. Число 1011₂ содержит одну восьмёрку, ни одной четвёрки, одну двойку и одну единицу. Чтобы получить его значение, нужно сложить веса тех разрядов, где записана цифра 1; нулевой разрядный вклад ничего не добавляет.
Общий вид записи работает для любых допустимых цифр и любого основания. Для вычисления подставляют цифры в выражение и считают степени q, начиная с нулевой справа. Это удобно, когда нужно найти значение числа или сравнить записи в разных системах: правило разложения остаётся тем же, меняются только основание и цифры.
| Запись числа | Основание | Допустимые цифры | Разложение по разрядам |
|---|---|---|---|
| 352₁₀ | 10 | 0–9 | 3·10² + 5·10¹ + 2·10⁰ |
| 1011₂ | 2 | 0–1 | 1·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 1·2⁰ |
| aₙaₙ₋₁…a₁a₀ в системе с основанием q | q | 0–q − 1 | aₙ·qⁿ + aₙ₋₁·qⁿ⁻¹ + … + a₁·q + a₀ |
Сначала найдите основание и убедитесь, что цифры допустимы для этой системы. Затем сопоставьте позициям степени основания: нулевая степень стоит справа, а показатели увеличиваются влево. Последний столбец показывает, как из записи получить её значение.
У числа три цифры, а основание десятичной системы равно 10. Справа находится разряд единиц, посередине — десятков, слева — сотен. Поэтому цифры нужно умножить соответственно на 10⁰, 10¹ и 10².
Ответ: 352₁₀ = 3·10² + 5·10¹ + 2·10⁰ = 300 + 50 + 2.
Основание здесь равно 2, а значит, разряды имеют веса 1, 2, 4 и 8. Удобно подписать веса справа налево, иначе легко перепутать порядок степеней. Нулевой разряд даёт нулевой вклад, но его позицию всё равно нужно учитывать.
Ответ: 1011₂ = 11₁₀.
Основание обозначено буквой q, поэтому разряды нужно выразить степенями q. Начинаем с крайней правой цифры: её вес равен q⁰. Двигаясь влево, каждый раз умножаем вес на q, а показатель увеличиваем на единицу.
Ответ: веса разрядов справа налево — q⁰, q¹, q², q³; значение числа равно a₃·q³ + a₂·q² + a₁·q + a₀.
Ошибка — считать, что значение цифры не зависит от её позиции. Так думают, если запоминают сами цифры, но забывают о разрядном весе: в 352 цифра 3 означает 300, а не просто 3. Проверка: умножьте цифру на вес её позиции и убедитесь, что разрядные слагаемые вместе дают исходное число.
Ошибка — начинать нумерацию разрядов с единицы справа. Из-за этого единицы ошибочно умножают на q¹ и значение всего числа становится в q раз больше. Проверка: крайняя правая цифра должна иметь вес q⁰ = 1, то есть сохранять собственное значение.
Ошибка — использовать в записи цифру, которая не разрешена основанием системы. Например, цифра 2 не может входить в двоичную запись, потому что допустимы только 0 и 1. Проверка: сравните каждую цифру с основанием — она должна быть меньше q.
Ошибка — записывать степени основания в обратном порядке. Тогда крайней правой цифре достаётся самый большой вес, хотя она обозначает единицы. Проверка: подпишите степени справа налево, начиная с q⁰; каждый следующий показатель должен увеличиваться на единицу.
Для понимания разрядов полезно знать состав натурального числа и помнить, что умножение на 10, 100 и другие степени десяти сдвигает значение разряда. Это помогает увидеть, почему десятичную запись можно разложить на сотни, десятки и единицы. Основание обобщает знакомое правило и позволяет применять его к другим системам.
Представление числа в общем виде используют при переводе чисел между системами счисления. Сначала запись раскладывают по степеням её основания, чтобы найти значение, а затем это значение записывают в другой системе. Двоичная запись также связана с тем, как компьютер представляет данные, поэтому правило разрядных весов понадобится при дальнейшем изучении информатики.
Что значит записать число в общем виде?
Это значит представить число как сумму цифр, умноженных на веса их разрядов. В системе с основанием q веса равны степеням q: справа налево q⁰, q¹, q² и так далее.
Почему разряды числа связывают со степенями основания?
При переходе на один разряд влево вес цифры увеличивается в q раз. Степени основания как раз показывают последовательное умножение на q, поэтому каждая позиция получает свой вес.
Почему крайняя правая цифра умножается на q⁰?
Справа находится разряд единиц, его вес равен 1. Поскольку q⁰ = 1, запись через степень основания точно отражает значение этого разряда.
Какие цифры можно использовать в системе с заданным основанием?
В системе с основанием q допустимы цифры от 0 до q − 1. Например, в двоичной системе используются только 0 и 1, а в десятичной — цифры от 0 до 9.
Как по записи двоичного числа найти его значение в десятичной системе?
Нужно умножить каждую цифру на степень 2, соответствующую её позиции, начиная с нулевой степени справа. Затем сложить полученные значения; например, 1011₂ = 1·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 1·2⁰ = 11₁₀.
§ 7. Запись числа в общем виде
