"Информатика (в 2-х частях)", Горячев А.В., Герасимова В.Г., Макарина Л.А., Островский С.Л., Паволоцкий А.В., Семёнов А.А., Юдина А.Г., Чернышёва Т.Л.
В ситуации неопределённости заранее неизвестно, какой исход наступит, поэтому решение приходится выбирать с учётом возможных последствий. Вероятностная модель помогает перечислить исходы, оценить их вероятности и рассчитать выигрыш или потери для каждого действия. Сравнение ожидаемых результатов показывает, какой вариант выгоднее в среднем. Но оно не предсказывает исход отдельной попытки и не гарантирует успеха: при выборе нужно учитывать и риск.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Случайное событие — исход, который может произойти, а может и не произойти. Например, при броске кубика событие «выпало чётное число» случайно: оно возможно, но не обязательно. Достоверное событие происходит при любых допустимых условиях, а невозможное не происходит вовсе. Это различие помогает понять, есть ли в ситуации неопределённость.
Вероятность события — числовая мера того, насколько возможно событие. Её обозначают буквой P, и она принимает значения от 0 до 1: 0 означает невозможность, а 1 — достоверность. Если все исходы равновозможны, вероятность находят делением числа подходящих исходов на число всех исходов. Так возможность события можно сравнивать и использовать в расчётах.
Вероятностная модель — описание ситуации, в котором перечислены возможные исходы и указана вероятность каждого из них. Например, для броска правильной монеты модель содержит орёл и решку с вероятностями ½ и ½. Она упрощает задачу: вместо неопределённой ситуации можно рассматривать понятный набор вариантов. Модель должна учитывать все существенные исходы.
Ожидаемый результат — среднее значение выигрыша или потерь, рассчитанное с учётом вероятностей исходов. Для каждого исхода его результат умножают на вероятность, затем полученные значения складывают. Выигрыш можно записать положительным числом, а потерю — отрицательным. Такой расчёт нужен, чтобы сравнить действия по средней выгоде, а не только по самому крупному возможному выигрышу.
Чтобы принять решение в ситуации неопределённости, сначала перечисляют возможные исходы. Одновременно отделяют известные условия от неизвестных: например, известно ли, что кубик правильный, и сколько очков даёт каждый результат. Это нужно потому, что без ясных условий можно неверно оценить шансы или сравнить несопоставимые варианты. Полный перечень исходов задаёт основу для дальнейшего расчёта.
Затем каждому исходу назначают вероятность. Её можно получить из условия задачи, например если все стороны правильного кубика равновозможны, или оценить по данным наблюдений. Сумма вероятностей должна быть равна 1, поскольку один из исходов полной модели обязательно наступит. Если сумма не равна 1, стоит проверить перечень исходов и сами вычисления: возможно, что-то пропущено или учтено дважды.
После этого для каждого исхода записывают последствие выбранного действия: выигрыш, потерю или другой измеримый результат. Один и тот же исход может приводить к разным результатам при разных действиях, поэтому последствия нужно указывать отдельно для каждого варианта решения. Потери удобно обозначать отрицательными числами, чтобы их можно было складывать с выигрышами. Так модель связывает вероятность события с тем, что оно означает для участника.
Ожидаемый результат находят, умножая вероятность каждого исхода на соответствующий выигрыш или потерю и складывая произведения. Например, если вероятность выигрыша равна 0,2, а выигрыш составляет 30 очков, вклад этого исхода равен 0,2 · 30 = 6 очкам. Такой вклад не означает, что именно 6 очков получат в отдельной игре: это часть среднего результата, рассчитанного с учётом вероятности. Для полной модели учитывают вклады всех исходов.
Рассчитав ожидаемые результаты разных действий, их сравнивают: более высокое значение означает преимущество в среднем. Это полезно, если ситуацию можно повторять много раз и важен общий итог. Однако в отдельной попытке может выпасть редкий исход, поэтому среднее значение не гарантирует успеха. Кроме того, решение зависит от отношения к риску: человек может предпочесть меньший, но более надёжный результат.
| Что описываем | Что указываем | Как используем при анализе |
|---|---|---|
| Возможные исходы | Полный перечень вариантов, которые могут наступить | Проверяем, что учтены все существенные случаи |
| Вероятность каждого исхода | Число от 0 до 1 для каждого варианта | Оцениваем возможность исхода; проверяем, что сумма равна 1 |
| Выигрыш или потеря при каждом исходе | Результат выбранного действия, в том числе отрицательный | Связываем наступивший исход с его последствием |
| Вклад исхода в ожидаемый результат | Произведение вероятности на выигрыш или потерю | Рассчитываем часть среднего результата от одного исхода |
| Итоговый ожидаемый результат действия | Сумму вкладов всех исходов | Сравниваем варианты решения по средней выгоде |
Заполняй таблицу отдельно для каждого возможного действия: тогда последствия одного и того же исхода не перепутаются. Сначала проверь перечень исходов и сумму вероятностей, затем вычисли вклады и сложи их. Итог сравнивай с учётом риска, а не считай обещанием конкретного результата.
При броске правильной монеты нужно выбрать, на что поставить: на выпадение орла или решки. Определим вероятности и сравним шансы. У правильной монеты две стороны, и при одном броске выпадет одна из них. Условия не дают преимущества ни орлу, ни решке.
Ответ: вероятность орла — ½, вероятность решки — ½; шансы равны. Это сравнение касается вероятности угадать сторону, а не размера возможного выигрыша: для него нужны дополнительные условия о ставке.
За выпадение 6 игрок получает 12 очков, а за любой другой результат теряет 2 очка. Найдём ожидаемый результат и выясним, выгодно ли играть по этому критерию. Предполагаем, что кубик правильный, то есть его шесть граней равновозможны. Выигрыш и потерю учитываем вместе, потому что важен средний итог игры.
Ответ: ожидаемый результат равен 1/3 очка, то есть он положительный. По критерию среднего результата игра выгодна, если её можно повторять на тех же условиях. Это не означает, что очки обязательно будут получены в одном броске: чаще выпадут числа, отличные от 6, и тогда игрок потеряет 2 очка.
В первой игре с вероятностью 0,2 получают 30 очков, иначе теряют 5. Во второй с вероятностью 0,5 получают 12 очков, иначе теряют 2. Сравним варианты по ожидаемому результату. Для каждой игры выделим выигрыш и оставшийся случай, то есть потерю.
Ответ: первая игра даёт ожидаемые 2 очка, вторая — 5, поэтому вторая выгоднее в среднем. Расчёт не гарантирует выигрыш в конкретной партии: можно получить потерю в любой из игр. Для окончательного выбора также важно, готов ли игрок принять риск и насколько для него существенны возможные потери.
Ошибка: считать, что более вероятный исход обязательно произойдёт. Так рассуждают, потому что смешивают высокую вероятность с гарантией. Но даже частый исход может не наступить в отдельной попытке. Проверка: назови остальные исходы с ненулевой вероятностью и спроси себя, возможен ли каждый из них сейчас.
Ошибка: назначить вероятности, не проверив полноту модели и их сумму. Некоторые исходы легко забыть, особенно если вариантов много или их объединяют в группы. Тогда расчёт описывает не всю ситуацию. Проверка: убедись, что каждый возможный случай попал ровно в одну группу, а сумма вероятностей равна 1.
Ошибка: складывать вероятности и выигрыши вместо умножения. Вероятность показывает долю случаев, а выигрыш — величину результата, поэтому простая сумма не учитывает, как часто этот результат возникает. Нужно найти вклад каждого исхода: умножить его вероятность на выигрыш или потерю, а затем сложить вклады. Проверка: при нулевой вероятности исхода его вклад должен быть нулевым.
Ошибка: выбирать вариант только по наибольшему возможному выигрышу. Большой приз привлекает внимание, а вероятность потери и её размер могут остаться незамеченными. В итоге вариант с эффектным выигрышем иногда уступает по ожидаемому результату. Составь перечень исходов, запиши выигрыши и потери со знаками и сравни суммы произведений.
Для расчётов нужны умения находить долю и процент, читать условие и выполнять действия с десятичными дробями. Доля помогает выражать вероятность, а частота наблюдений — оценивать её по серии экспериментов: число появлений исхода делят на число опытов. Такая оценка связывает вероятность с практическими данными, хотя при малом количестве опытов она может быть неточной. Вероятностные модели применяют при анализе игр и рисков, а также при работе со статистикой и алгоритмами принятия решений.
Как понять, какие исходы нужно включить в вероятностную модель?
Включи все исходы, которые могут повлиять на результат выбранного действия. Проверь, что они не пропущены и вместе охватывают все возможные варианты ситуации. Если условия или действие меняются, модель может потребовать новых исходов.
Почему сумма вероятностей всех исходов должна быть равна 1?
В полной модели обязательно произойдёт какой-либо из перечисленных исходов, а вероятность этого достоверного события равна 1. Поэтому вероятности всех исходов вместе должны составить 1. Если сумма отличается, исходы перечислены не полностью или вероятности рассчитаны неверно.
Как найти вероятность, если исходы равновозможны?
Нужно разделить число исходов, подходящих событию, на общее число равновозможных исходов. Например, у правильного кубика шесть исходов, и вероятность выпадения шестёрки равна 1/6. Такой способ подходит только тогда, когда все исходы действительно равновозможны.
Что делать, если вероятности исходов получены из наблюдений?
Для каждого исхода посчитай, как часто он встречался, и раздели это число на общее количество наблюдений. Такая частота служит оценкой вероятности, но при небольшом числе опытов она может заметно отличаться от настоящей вероятности. Чем больше наблюдений, тем надёжнее обычно оценка.
Гарантирует ли выбор варианта с большим ожидаемым результатом выигрыш?
Нет. Ожидаемый результат показывает средний итог при многократном повторении ситуации, а в одной попытке может произойти любой из возможных исходов. Поэтому при выборе учитывают не только среднюю выгоду, но и то, насколько допустим риск потери.
§ 8. Принятие решения в ситуациях неопределённости. Построение вероятностной модели и её анализ
