"Информатика (в 2-х частях)", Горячев А.В., Герасимова В.Г., Макарина Л.А., Островский С.Л., Паволоцкий А.В., Семёнов А.А., Юдина А.Г., Чернышёва Т.Л.
Система счисления — это способ записывать числа с помощью цифр и правил. В позиционной системе одна и та же цифра может обозначать разное количество в зависимости от места в записи. Основание системы задаёт набор допустимых цифр и определяет, как устроены разряды. Понимание этих правил помогает переводить числа между системами и объясняет, почему компьютеры используют двоичную запись.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система счисления — способ записывать числа с помощью определённых знаков и правил. Например, привычные цифры 0–9 относятся к десятичной системе, а 0 и 1 — к двоичной. Понятие системы счисления нужно, чтобы понимать, почему одно и то же число можно записать разными способами. Правила сообщают, как прочитать запись и определить её значение.
Основание системы счисления — количество цифр в системе; оно определяет, сколько единиц одного разряда образуют единицу следующего. Например, в десятичной системе десять единиц разряда составляют одну единицу следующего разряда. Основание помогает установить, какие знаки допустимы и как считать разрядные значения. Его обычно указывают нижним индексом: например, 101₂.
Цифра — знак, используемый для записи числа; в системе с основанием n допустимы цифры от 0 до n − 1. Поэтому в восьмеричной системе можно использовать 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7, но нельзя 8 или 9. Это правило позволяет сразу заметить неверную запись. В шестнадцатеричной системе для значений от десяти до пятнадцати используют буквы A, B, C, D, E и F.
Позиционная система счисления — система, в которой значение цифры зависит от её места в записи числа. Например, цифра 5 в записи 50 означает пять десятков, а в записи 5 — пять единиц. Положение цифры задаёт её разряд и, следовательно, её вклад в общее значение числа. Это понятие нужно для чтения чисел и их перевода между системами.
В позиционной системе значение цифры меняется вместе с её местом, потому что каждый разряд обозначает количество единиц определённого размера. В десятичной записи разряды справа налево — единицы, десятки, сотни и так далее. Цифра показывает, сколько единиц своего разряда взято, а её вклад равен произведению цифры на разрядное значение. Поэтому цифра 3 в разряде сотен означает 300, а в разряде десятков — 30.
Запись числа можно представить как сумму разрядных слагаемых: каждую цифру умножают на основание системы, возведённое в степень номера её разряда. Нумерацию начинают справа с нуля, поэтому крайняя правая цифра умножается на n⁰, следующая — на n¹, затем на n² и так далее. Например, 10110₂ = 1·2⁴ + 0·2³ + 1·2² + 1·2¹ + 0·2⁰. Такой способ превращает условную запись в сумму обычных чисел, которую можно вычислить.
Основание определяет и набор цифр, и переход между соседними разрядами: когда в разряде набирается n единиц, их заменяют одной единицей следующего разряда. В десятичной системе для этого нужно десять единиц, а в двоичной — всего две. Именно поэтому двоичное число 10₂ означает два в десятичной системе, а не десять. Если в записи встретилась цифра, равная основанию или больше него, запись составлена неверно.
Чтобы перевести целое число из десятичной системы в систему с основанием n, число делят на n и записывают остаток. Затем делят на n полученное целое частное, снова фиксируют остаток и повторяют действия, пока частное не станет нулём. Остатки появляются от младшего разряда к старшему, поэтому их читают в обратном порядке. Такой порядок нужен потому, что первое деление определяет разряд единиц новой записи.
При переводе числа из другой позиционной системы в десятичную запись раскрывают по разрядам. Цифры умножают на соответствующие степени основания и складывают результаты. Так, в записи 2A₁₆ буква A означает 10, а разряды имеют значения 16¹ и 16⁰. Разложение позволяет перевести запись в число, понятное в десятичной системе, не меняя само количество.
| Свойство | Десятичная | Двоичная | Восьмеричная | Шестнадцатеричная |
|---|---|---|---|---|
| Основание | 10 | 2 | 8 | 16 |
| Допустимые цифры | 0–9 | 0–1 | 0–7 | 0–9, A–F |
| Разряды записываются как степени основания | 10⁰, 10¹, 10²… | 2⁰, 2¹, 2²… | 8⁰, 8¹, 8²… | 16⁰, 16¹, 16²… |
| Пример записи числа | 13₁₀ | 1101₂ | 15₈ | D₁₆ |
| Где применяется | Повседневные вычисления | Представление данных в компьютере | Краткая запись двоичных данных | Запись двоичных данных, адресов и кодов |
Сначала найдите в таблице основание и проверьте, входят ли цифры записи в допустимый набор. Затем определите разрядные значения, если нужно перевести число в десятичную систему. Примеры в строке показывают, как одно и то же количество может выглядеть в разных системах.
Задача 1. Записать десятичное число 13 в двоичной системе счисления. Нужно найти цифры записи с основанием 2, поэтому будем делить число на 2 и сохранять остатки. Деление продолжаем, пока частное не станет нулём. Запись результата составим из остатков в обратном порядке.
Проверим результат: 1101₂ = 1·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰ = 8 + 4 + 0 + 1 = 13. Проверка подтверждает, что перевод выполнен верно. Ответ: 13₁₀ = 1101₂.
Задача 2. Перевести число 10110₂ в десятичную систему счисления. Справа налево назначаем разрядам номера, начиная с нуля. Затем каждую цифру умножаем на соответствующую степень двойки и складываем. Нулевые цифры дают нулевой вклад, но их разряды всё равно учитываются.
Полученное число проверяет значение исходной записи в десятичной системе. При нумерации справа направо крайний разряд имеет номер 0, а не 1. Ответ: 10110₂ = 22₁₀.
Задача 3. Перевести число 2A₁₆ в десятичную систему, а затем результат — в двоичную. Сначала заменим букву A значением 10 и разложим запись по степеням 16. Затем применим деление на 2, потому что основание искомой системы — 2. Такой порядок помогает не перепутать значения цифр и основания.
Переводим полученную двоичную запись обратно для проверки: 101010₂ = 32 + 8 + 2 = 42. Значит, оба шага согласуются. Ответ: 2A₁₆ = 42₁₀ = 101010₂.
Использовать цифру, которой нет в системе, например 2 в двоичной записи. Так ошибаются, когда переносят привычные цифры из десятичной системы, не проверив основание. Чтобы проверить запись, сравните каждую цифру с диапазоном от 0 до n − 1. В двоичной системе должны остаться только 0 и 1.
Считать разряды не от нуля или возводить основание не в ту степень при переводе в десятичную систему. Ошибка возникает, если нумеровать правый разряд с единицы или перепутать направление отсчёта. Подпишите номера разрядов справа налево, начиная с 0, а затем проверьте степени основания. Подстановка разложения обратно в сумму помогает обнаружить неверный разряд.
Записывать остатки в порядке, в котором они получены при делении. Первый остаток относится к разряду единиц, поэтому при чтении сверху вниз порядок разрядов окажется перевёрнутым. Читайте остатки снизу вверх и проверьте ответ обратным разложением по степеням основания. Если восстановленное число не совпадает с исходным, проверьте порядок записи.
Путать основание системы с количеством разрядов в записи числа. Основание — это число допустимых цифр, а разрядов в записи может быть сколько угодно. Ошибка возникает из-за того, что оба понятия связаны с устройством записи. Чтобы проверить себя, отдельно укажите основание и отдельно посчитайте цифры в конкретной записи.
Для работы с системами счисления полезны знания о разрядном составе десятичного числа: они помогают понять вклад каждой цифры. Также нужно уметь вычислять степени натуральных чисел, поскольку степени основания задают значения разрядов. Позиционные системы напрямую связаны с представлением данных в компьютере и двоичным кодированием информации. Перевод чисел между системами пригодится при изучении алгоритмов и программирования, где данные могут записываться и обрабатываться по разным правилам.
Почему в двоичной системе используются только цифры 0 и 1?
У двоичной системы основание 2, поэтому в ней есть две допустимые цифры: от 0 до 2 − 1. Это 0 и 1. Когда нужно показать большее значение, используют следующие разряды.
Что означает нижний индекс возле записи числа?
Нижний индекс показывает основание системы, в которой записано число. Например, 10110₂ — двоичная запись, а 2A₁₆ — шестнадцатеричная. Без индекса запись обычно считают десятичной, если из условия не следует другое.
Как узнать, допустима ли цифра в данной системе счисления?
Сравните цифру с основанием системы: она должна быть целой и находиться в диапазоне от 0 до n − 1. Например, в системе с основанием 8 допустимы цифры от 0 до 7. Цифра 8 в такой записи недопустима.
Почему при переводе делением остатки нужно читать снизу вверх?
Первый остаток показывает младший разряд результата, то есть разряд единиц. Каждый следующий остаток относится к более высокому разряду. Поэтому готовую запись получают, читая остатки в обратном порядке.
Как проверить, правильно ли выполнен перевод числа?
Переведите полученную запись обратно в исходную систему по разрядам и сравните результат с начальным числом. Для перевода из десятичной системы можно также проверить деление: число должно восстанавливаться из частного и остатка на каждом шаге. Следите, чтобы все цифры были допустимы для основания.
Модуль 2. Системы счисления
