§ 6. Шестнадцатеричная система счисления

Определения и обозначения

Шестнадцатеричная система счисления — позиционная система с основанием 16. Основание показывает, сколько разных цифр используется для записи чисел, и определяет вес каждого разряда. Поэтому значение цифры зависит не только от её символа, но и от того, где она стоит.

Шестнадцатеричные цифры — символы 0–9 и A–F. Первые десять совпадают с привычными десятичными цифрами, а буквам A, B, C, D, E, F соответствуют значения 10, 11, 12, 13, 14, 15. Буквы нужны, потому что для основания 16 одних символов 0–9 недостаточно.

Разряд числа — позиция, которую занимает цифра в записи. Справа налево идут разряды единиц, шестнадцаток, 16² и так далее. При переходе на один разряд влево вес цифры возрастает в 16 раз, поэтому одна и та же цифра в разных позициях вносит разный вклад в число.

Запись шестнадцатеричного числа — последовательность символов 0–9 и A–F, значение которой зависит от основания. Чтобы не перепутать её с десятичной, основание указывают нижним индексом: например, 2F₁₆. Такая отметка особенно полезна, если запись состоит только из цифр и сама по себе не показывает, в какой системе она дана.

Как это устроено

В системе с основанием 16 требуется шестнадцать разных значений цифр: от нуля до пятнадцати. После девяти привычные обозначения заканчиваются, поэтому для оставшихся шести значений используют буквы A–F. Это не отдельные числа, а такие же цифры позиционной записи, как 0–9: например, F означает значение 15.

Чтобы узнать десятичное значение шестнадцатеричной записи, разложите её по разрядам. Цифру единиц умножьте на 16⁰, следующую слева — на 16¹, затем на 16² и так далее, после чего сложите результаты. Степень растёт при движении влево, потому что каждый следующий разряд содержит в 16 раз более крупные единицы счёта.

Целое десятичное число удобно переводить в шестнадцатеричное последовательным делением на 16. Остаток от первого деления задаёт самый правый разряд, то есть младшую цифру; остатки последующих делений задают всё более старшие разряды. Поэтому готовую запись составляют, читая остатки в обратном порядке, а остаток 10–15 заменяют соответствующей буквой A–F.

Одна шестнадцатеричная цифра соответствует четырём двоичным разрядам, потому что четыре двоичные позиции могут образовать 2⁴ = 16 комбинаций. Это совпадает с числом возможных значений шестнадцатеричной цифры. Для перевода двоичной записи в шестнадцатеричную отсчитывайте группы по четыре разряда справа налево: граница справа совпадает с концом записи, а добавление нулей слева не меняет её значения.

Обратный перевод выполняют по цифрам: каждую заменяют её четырёхразрядным двоичным кодом. Код всегда должен состоять из четырёх разрядов, поэтому в коротких кодах слева дописывают нули. Например, шестнадцатеричная цифра 3 заменяется на 0011, а не на 11: так все группы сохраняют одинаковую длину и их легко соединить в общую запись.

Соответствие шестнадцатеричных цифр десятичным значениям и двоичным кодам

Таблица помогает заменить шестнадцатеричную цифру её десятичным значением или четырёхразрядным двоичным кодом. Для цифр 0–9 двоичные коды идут от 0000 до 1001, а буквы продолжают ряд до 1111. При переводе записи целиком заменяйте каждую цифру отдельно.

Разбор задач

Задача 1. Перевести число 2F₁₆ в десятичную систему. В записи две цифры, поэтому достаточно учесть разряды единиц и шестнадцаток. Справа стоит F со значением 15, а слева — 2; остаётся умножить их на веса этих разрядов и сложить.

1. Разряд F — первый справа, его вес равен 16⁰ = 1.
2. Разряд 2 находится слева, его вес равен 16¹ = 16.
3. Подставляем значения цифр: 2 · 16 + 15 · 1 = 32 + 15 = 47.

Ответ: 2F₁₆ = 47₁₀. Проверка по разрядам подтверждает, что цифра F означает пятнадцать единиц, а не отдельный символ без числового значения.

Задача 2. Перевести число 173₁₀ в шестнадцатеричную систему. При делении на 16 остаток показывает текущую цифру, начиная с младшей. Продолжаем делить частное, пока оно не станет меньше 16: оставшееся частное будет старшей цифрой.

1. 173 : 16 = 10, остаток 13. Значение 13 обозначается буквой D.
2. Частное 10 меньше 16, поэтому деление можно остановить; 10 записывается как A.
3. Остатки читаем в обратном порядке: сначала A, затем D.

Ответ: 173₁₀ = AD₁₆. Проверить результат можно разложением: 10 · 16 + 13 = 173. Такая проверка помогает заметить, если остатки были записаны в неправильном порядке.

Задача 3. Перевести число 1011011110₂ в шестнадцатеричную систему. Двоичные цифры объединяем в группы по четыре, начиная справа, поскольку правая граница записи должна остаться на месте. Слева остаётся короткая группа, поэтому перед ней добавляем нули.

1. Группируем справа налево: 10 | 1101 | 1110.
2. Дополняем левую группу до четырёх разрядов: 0010 | 1101 | 1110.
3. Заменяем группы по таблице: 0010 = 2, 1101 = D, 1110 = E.

Ответ: 1011011110₂ = 2DE₁₆. Нули добавлены только слева от исходной записи, поэтому значение числа не изменилось. Полученные группы соответствуют цифрам 2, D и E именно в том же порядке, в котором они шли слева направо.

Типичные ошибки

Ошибка — воспринимать A–F как отдельные числа, а не как цифры со значениями от 10 до 15. Так бывает, если забыть, что в позиционной записи любой символ имеет числовое значение и занимает конкретный разряд. Проверяйте букву по таблице: например, C — это 12, а F — 15.

При переводе в десятичную систему иногда считают разряды слева направо или начинают степени 16 с единицы. Тогда все веса смещаются и получается неверное число. Начинайте справа со степени 16⁰ = 1, а затем двигайтесь влево, каждый раз увеличивая показатель на один.

При переводе десятичного числа в шестнадцатеричное можно записать остатки в порядке их получения. Первый остаток относится к самому правому, младшему разряду, поэтому такая запись будет перевёрнутой. Составляя ответ, прочитайте остатки от последнего к первому и замените остатки 10–15 буквами.

В двоично-шестнадцатеричном переводе неверно группируют разряды или забывают дополнить левую группу нулями. Ошибка возникает, если начать группировку слева: тогда границы групп сместятся. Проверка простая: разделите запись на четвёрки справа налево, а неполную первую группу дополните нулями слева.

Связь с другими темами

Для работы с шестнадцатеричной записью нужны знания о позиционной записи чисел, разрядах и степенях числа: именно они объясняют вес каждой цифры. Связь с двоичной системой особенно удобна в информатике: длинную последовательность нулей и единиц можно компактно записать шестнадцатеричными цифрами и быстро восстановить по группам из четырёх разрядов. Поэтому понимание обеих систем помогает читать и записывать данные.

Что запомнить

• Основание шестнадцатеричной системы — 16.
• Используются цифры 0–9 и A–F.
• A, B, C, D, E, F соответствуют десятичным значениям 10, 11, 12, 13, 14, 15.
• Значение числа — сумма произведений цифр на степени 16.
• При делении на 16 остатки читают в обратном порядке.
• Одна шестнадцатеричная цифра заменяется четырьмя двоичными разрядами.
• Двоичную запись делят на группы по четыре разряда справа налево.