§ 13. Шестнадцатеричная система счисления

Определения и обозначения

Шестнадцатеричная система счисления — позиционная система с основанием 16. Позиционная означает, что значение цифры зависит не только от неё самой, но и от её места в записи. Например, цифра 2 в числе 2D₁₆ означает два шестнадцатка, а не просто два. Это правило позволяет записывать большие числа коротко.

Шестнадцатеричные цифры — символы 0–9 и A–F. Буквы нужны, потому что десяти цифр недостаточно для шестнадцати значений одного разряда: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15. При вычислениях буквы заменяют соответствующими числами. Это помогает не путать отдельную цифру разряда с двумя соседними десятичными цифрами.

Разряд числа — позиция цифры в записи, которой соответствует определённый вес. В шестнадцатеричной системе веса справа налево равны степеням 16: 16⁰, 16¹, 16² и так далее. Например, крайняя справа цифра умножается на 1, следующая — на 16. Понимание разрядов нужно, чтобы разложить запись на слагаемые и перевести её в десятичную систему.

Запись с основанием 16 обозначают индексом 16, например 2D₁₆, или префиксом 0x в программировании: 0x2D. Индекс показывает, в какой системе записано число, а префикс выполняет такую же роль в некоторых языках программирования. Без обозначения запись с буквами обычно понятна, но цифры вроде 10 могут означать разные значения в разных системах. Явное указание основания помогает избежать неоднозначности.

Как это устроено

Основание системы показывает, сколько разных значений можно записать одним разрядом до перехода к следующему. В десятичной системе таких значений десять, от 0 до 9; в шестнадцатеричной — шестнадцать, от 0 до 15. Поэтому после 9 нужны ещё шесть обозначений, и для них используют A, B, C, D, E и F. Благодаря этому каждое значение разряда записывается одним символом.

Разрядная запись раскладывает число на сумму произведений цифр на степени основания. Например, 3A7₁₆ = 3 · 16² + 10 · 16¹ + 7 · 16⁰. Здесь справа находится разряд единиц, а каждый следующий разряд слева в 16 раз весомее предыдущего. Такой способ объясняет, почему одна и та же цифра может давать разный вклад в число в зависимости от её позиции.

При переводе целого десятичного числа делением на 16 каждый остаток показывает очередную шестнадцатеричную цифру, начиная с самого младшего разряда. Поэтому число делят на 16, затем частное снова делят на 16, пока оно не станет равно нулю. Первым появляется остаток для крайней правой цифры, последним — для самой старшей. Значит, записывать полученные остатки нужно в обратном порядке.

Чтобы перевести шестнадцатеричную запись в десятичную, каждую цифру умножают на вес её разряда и складывают результаты. Например, в числе 2D₁₆ цифра D равна 13 и стоит в разряде 16⁰, а 2 стоит в разряде 16¹. Получаем 2 · 16 + 13 · 1 = 45. Такой расчёт проверяет, какое привычное десятичное значение скрывается за записью.

Одна шестнадцатеричная цифра соответствует четырём двоичным разрядам, потому что четыре бита дают 2⁴ = 16 комбинаций. Это ровно столько значений, сколько может обозначать шестнадцатеричная цифра. Поэтому двоичную запись можно разбить на группы по четыре бита и заменить каждую группу одной цифрой. Такой перевод удобен, поскольку не требует выполнять длинные вычисления с весами разрядов.

Основные соответствия шестнадцатеричной системы

Таблица показывает, как одно и то же значение выглядит в десятичной, шестнадцатеричной и двоичной системах. Для перевода из двоичной системы найдите в ней группу из четырёх битов и замените её соответствующей цифрой. Если переводите из шестнадцатеричной в двоичную, действуйте наоборот: каждой цифре сопоставьте четыре бита, сохраняя нули в начале группы.

Разбор задач

Задача 1. Переведите число 45₁₀ в шестнадцатеричную систему. Нужно найти остатки при делении на 16: каждый остаток задаёт цифру, но возникает он от младшего разряда к старшему. Поэтому заранее учитываем, что результат будем читать снизу вверх. Если остаток окажется от 10 до 15, вместо числа понадобится буква.

1. Делим 45 на 16: частное 2, остаток 13.
2. Делим частное 2 на 16: частное 0, остаток 2.
3. Читаем остатки снизу вверх: 2, затем 13; заменяем 13 буквой D.

Ответ: 45₁₀ = 2D₁₆. Проверка: 2 · 16 + 13 = 45, значит полученная запись имеет нужное десятичное значение.

Задача 2. Переведите число 2D₁₆ в десятичную систему. Сначала заменим D значением 13, затем учтём вес каждой позиции. Цифра D стоит справа, поэтому умножается на 16⁰; цифра 2 стоит слева и умножается на 16¹. Складываем вклады обоих разрядов.

1. Записываем разложение: 2D₁₆ = 2 · 16¹ + 13 · 16⁰.
2. Вычисляем степени: 16¹ = 16, 16⁰ = 1.
3. Считаем сумму: 2 · 16 + 13 · 1 = 32 + 13 = 45.

Ответ: 2D₁₆ = 45₁₀. Проверить результат можно обратным переводом: 45 делится на 16 с остатками 13 и 2, которые дают запись 2D.

Задача 3. Переведите 1011011110₂ в шестнадцатеричную систему и проверьте результат переводом в десятичную. При группировке начинаем с правого края, поскольку он соответствует младшим разрядам. Слева в последней группе разрешено добавить нули: это не меняет значение числа. После замены групп остаётся проверить сумму разрядов.

1. Группируем справа налево: 10 1101 1110; дополняем старшую группу: 0010 1101 1110.
2. Заменяем группы по таблице: 0010 = 2, 1101 = D, 1110 = E. Получаем 2DE₁₆.
3. Проверяем по разрядам: 2 · 16² + 13 · 16¹ + 14 · 16⁰ = 512 + 208 + 14 = 734.
4. Для контроля двоичной записи считаем её значение: 512 + 128 + 64 + 16 + 8 + 4 + 2 = 734.

Ответ: 1011011110₂ = 2DE₁₆ = 734₁₀. Совпадение десятичных значений подтверждает, что двоичная группировка и замена цифр выполнены верно.

Типичные ошибки

При переводе делением иногда записывают остатки сверху вниз, то есть в порядке их получения. Так делают, потому что первый остаток кажется началом ответа, хотя он относится к младшему разряду. Запомните: деление начинает построение справа, поэтому остатки нужно читать снизу вверх. Проверка простая — разложите полученную запись по степеням 16 и сравните результат с исходным числом.

При переводе в десятичную систему можно начать нумерацию разрядов с единицы или использовать степени 10. Такое случается, если по привычке применить правила десятичной записи. Справа разряд всегда имеет номер 0 и вес 16⁰, а каждый шаг влево увеличивает показатель на единицу. Проверьте сумму: в ней должны встречаться степени 16, а не 10.

Значения букв A–F иногда путают или после 9 записывают 10 как следующую шестнадцатеричную цифру. Причина — привычка к десятичной системе, в которой символов для цифр больше нет. Сверьтесь с соответствиями: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15; числа 10 и выше записываются уже несколькими разрядами. Например, десятичное 16 — это 10₁₆, а не одна цифра.

При переходе из двоичной системы биты могут группировать слева направо или брать в каждой группе не четыре разряда. Ошибка возникает, если не учитывать, что группа должна представлять ровно один шестнадцатеричный разряд, а младший разряд находится справа. Начинайте группировку справа налево и только старшую неполную группу дополняйте нулями слева. Проверить ответ можно обратной заменой каждой цифры четырьмя битами.

Связь с другими темами

Для работы с шестнадцатеричными числами нужны знания о позиционном принципе: значение цифры зависит от её разряда. Также пригодятся степени числа и способы перевода между двоичной и десятичной системами. Шестнадцатеричная запись связывает эти темы: её разряды основаны на степенях 16, а отдельные цифры удобно сопоставлять с группами двоичных разрядов. Такой способ применяют для компактной записи двоичных данных, адресов памяти, цветов и значений в программировании.

Что запомнить

• Основание шестнадцатеричной системы — 16.
• Для записи используют цифры 0–9 и буквы A–F.
• Вес разряда справа налево равен 1, 16, 16² и далее.
• При переводе из десятичной системы делят на 16, а остатки читают снизу вверх.
• При переводе в десятичную систему складывают произведения цифр на степени 16.
• Одна шестнадцатеричная цифра заменяет группу из четырёх двоичных разрядов.