"Информатика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Поляков К.Ю., Еремин Е.А.
Восьмеричная система счисления записывает числа с помощью восьми цифр — от 0 до 7. Она позиционная: значение цифры зависит не только от неё самой, но и от места в записи, а веса разрядов определяются степенями числа 8. Поэтому одно число можно представить в разных системах счисления, а затем перевести из одной записи в другую. Восьмеричная запись полезна при изучении способов представления данных в компьютере и связи систем счисления с двоичной.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Восьмеричная система счисления — позиционная система с основанием 8. Это значит, что значение числа зависит и от цифр, и от мест, на которых они стоят. Одинаковая цифра в разных разрядах может обозначать разное количество, поэтому позиция помогает компактно записывать числа.
Основание системы счисления — число, показывающее, сколько разных цифр используют для записи и во сколько раз отличаются веса соседних разрядов. Для восьмеричной системы основание равно 8: вес каждого следующего целого разряда в восемь раз больше предыдущего. Знание основания позволяет правильно читать запись и переводить число в другую систему.
Цифры восьмеричной системы — символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Цифр 8 и 9 здесь нет, поскольку для основания 8 уже использованы все восемь символов, начиная с нуля. Это ограничение помогает отличать восьмеричную запись от десятичной.
Разряд восьмеричной записи — позиция цифры, которой соответствует степень числа 8. Разряды целой части справа налево связаны со степенями 8⁰, 8¹, 8² и далее; после запятой идут 8⁻¹, 8⁻² и так далее. По номеру разряда можно определить вес каждой цифры и её вклад в значение числа.
В десятичной системе после цифры 9 появляется запись 10: все доступные одиночные цифры уже использованы, поэтому начинается новый разряд. В восьмеричной системе та же причина приводит к переходу от 7 к 10₈. Запись 10₈ означает не десять в привычном смысле, а одну восьмёрку и ноль единиц, то есть число 8 в десятичной системе.
Позиционный принцип можно увидеть, разложив целое число на разряды. Крайняя справа цифра умножается на 8⁰, следующая — на 8¹, затем идут 8² и более высокие степени. Например, в записи 157₈ цифра 7 обозначает единицы, 5 — группы по восемь, а 1 — группы по 64. Степени растут влево, потому что каждый новый разряд в восемь раз весомее соседнего справа.
Чтобы перевести целое восьмеричное число в десятичное, нужно найти вклад каждой цифры и сложить вклады. Для этого цифру умножают на степень 8, соответствующую её разряду, начиная отсчёт справа с нуля. Такой способ напрямую следует из позиционного значения записи и подходит для любого целого числа. Если в разряде стоит 0, его вклад равен нулю.
Целое десятичное число переводят в восьмеричное последовательным делением на 8. Остаток от первого деления задаёт единицы, остаток от следующего — разряд восьмёрок, а дальнейшие остатки — более старшие разряды. Поэтому остатки читают снизу вверх, то есть в порядке, обратном их получению. Деление заканчивают, когда частное становится равным нулю.
Дробные разряды располагаются справа от запятой и соответствуют отрицательным степеням основания. Первый разряд имеет вес 8⁻¹, второй — 8⁻², третий — 8⁻³; чем дальше цифра от запятой, тем меньше её вклад. При переводе дробной части в десятичную каждую цифру умножают на её вес и складывают с вкладом целой части. Например, первая цифра после запятой показывает долю от одной восьмой.
| Характеристика | Описание |
|---|---|
| Основание | 8 |
| Допустимые цифры | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 |
| Веса целых разрядов | Справа налево: 8⁰, 8¹, 8² и далее |
| Веса дробных разрядов | От запятой вправо: 8⁻¹, 8⁻² и далее |
| Перевод в десятичную систему | Сумма произведений цифр на веса разрядов |
| Перевод из десятичной системы | Для целого числа — деление на 8 с остатком и чтение остатков снизу вверх |
Таблица помогает быстро проверить, какие символы допустимы и какой вес имеет каждый разряд. При переводе в десятичную систему выбирайте вес по положению цифры, а при обратном переводе целого числа используйте деление с остатком. Для дробей отдельно учитывайте отрицательные степени справа от запятой.
Ответ: 157₈ = 111₁₀. Разложение показывает, что цифра 1 здесь означает одну группу из 64, а не одну единицу.
Ответ: 245₁₀ = 365₈. Проверить результат можно обратным переводом: 3·8² + 6·8¹ + 5·8⁰ = 192 + 48 + 5 = 245.
Ответ: 73,4₈ = 59,5₁₀. Дробная цифра 4 даёт четыре восьмых, поэтому её вклад равен 0,5.
Ошибка — записывать в восьмеричном числе цифры 8 или 9. Их могут случайно использовать по привычке к десятичной системе, но в восьмеричной допустимы только символы от 0 до 7. Проверьте каждый знак записи: если встретилась 8 или 9, число записано неверно.
Ошибка — начинать нумерацию разрядов справа с 1, а не с 0. Тогда единицы ошибочно получают вес 8¹ вместо 8⁰, и все вклады оказываются завышены. Для самопроверки подпишите под крайней правой цифрой степень 0, затем последовательно увеличивайте степень влево.
Ошибка — читать остатки при делении на 8 в порядке их получения. Первый остаток относится к младшему разряду, поэтому прямая запись остатков переворачивает цифры числа. После вычислений поставьте остатки столбиком и прочитайте их снизу вверх; затем проверьте результат переводом обратно.
Ошибка — назначать цифрам после запятой положительные степени 8. Так дробный разряд ошибочно превращается в большой целый вклад, хотя с удалением от запятой вклад должен уменьшаться. Для проверки запишите степени отдельно: первый дробный разряд — 8⁻¹, второй — 8⁻² и далее.
Для понимания восьмеричной записи нужны знания о позиционной записи чисел и степенях. Если представить число как сумму вкладов разрядов и помнить правила умножения на степень, перевод в десятичную систему становится последовательным вычислением. Поэтому полезно заранее уверенно определять разряды и находить значения степеней.
Восьмеричная система связана с представлением данных в компьютере и с двоичной системой. Одна восьмеричная цифра соответствует группе из трёх двоичных разрядов, поскольку 8 = 2³. Это позволяет компактно записывать двоичные последовательности и быстро переходить между такими представлениями.
Почему в восьмеричной системе нет цифр 8 и 9?
Основание системы равно 8, поэтому для записи чисел достаточно восьми цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. После 7 счёт продолжается с помощью нового разряда, как после 9 в десятичной системе.
Как определить вес цифры в восьмеричной записи?
Нужно отсчитать разряд справа, начиная с нулевого, и возвести 8 в соответствующую степень. Например, вес цифры в третьем разряде справа равен 8²; разряды после запятой имеют степени −1, −2 и далее.
Как перевести восьмеричное число в десятичное?
Каждую цифру умножают на вес её разряда — соответствующую степень 8 — и складывают результаты. Для целой части используют степени от 0 и выше, для дробной — отрицательные степени.
Почему при делении на 8 остатки записывают в обратном порядке?
Первый остаток показывает младший разряд будущего числа, то есть цифру справа. Следующие остатки соответствуют всё более старшим разрядам, поэтому итоговую запись читают от последнего остатка к первому.
Как перевести дробную часть восьмеричного числа в десятичную?
Цифры после запятой умножают на 8⁻¹, 8⁻² и так далее, а затем складывают. Например, цифра в первом дробном разряде означает число восьмых.
§ 12. Восьмеричная система счисления
