"Информатика", Поляков К.Ю., Еремин Е.А.
Восьмеричная система счисления — способ записывать числа с помощью восьми цифр: от 0 до 7. Её основание равно 8, поэтому каждый следующий разряд в записи числа в восемь раз весомее предыдущего. Чтобы перевести число в десятичную систему, его раскладывают по степеням 8; для обратного перевода целое число делят на 8 и читают остатки снизу вверх. Эти правила помогают переводить записи и проверять результат.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Восьмеричная система счисления — позиционная система, в которой числа записывают восемью цифрами: от 0 до 7. Позиционной её называют потому, что смысл цифры зависит от места в записи. Такая система позволяет представлять числа иначе, чем привычным десятичным способом.
Основание системы счисления — число, которое задаёт количество используемых цифр и изменение весов разрядов. У восьмеричной системы основание равно 8. Зная основание, можно понять, какие символы разрешены и как разложить запись числа на слагаемые.
Восьмеричная цифра — один из символов 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 или 7. Цифры 8 и 9 в этой системе не применяются: для перехода к следующему разряду уже достаточно восьми возможных значений. Это правило помогает сразу заметить ошибочную запись.
Позиционная запись числа — способ записи, при котором вклад каждой цифры определяется её местом. В восьмеричном числе разряды справа налево имеют веса 1, 8, 8², 8³ и далее. Эти веса нужны, чтобы вычислить значение числа или выполнить перевод в другую систему.
Основание системы равно количеству её цифр: в восьмеричной системе есть восемь вариантов — от 0 до 7. Когда нужно продолжить счёт после 7, свободной цифры уже нет, поэтому увеличивают следующий разряд, а справа ставят 0. Так появляется запись 10₈, которая означает не десять, а одну восьмёрку и ноль единиц. Именно поэтому основание здесь равно 8.
Значение восьмеричной записи складывается из вкладов всех её цифр. Справа находится разряд единиц с весом 1, слева от него — разряд восьмёрок с весом 8, затем разряд с весом 8² и так далее. Поэтому 253₈ = 2·8² + 5·8 + 3: цифра 2 означает две группы по 64, цифра 5 — пять групп по 8, а 3 — три единицы. Разряды нужны, чтобы одинаковые цифры в разных местах не путать: например, 2 в разряде восьмёрок обозначает 16.
Чтобы перевести число из восьмеричной системы в десятичную, сначала нумеруют разряды справа налево, начиная с нуля. Затем каждую цифру умножают на основание 8 в степени номера разряда и складывают результаты. Например, 156₈ = 1·8² + 5·8¹ + 6·8⁰ = 64 + 40 + 6 = 110₁₀. Такое разложение работает потому, что каждая позиция в записи представляет соответствующее количество единиц, восьмёрок, восьмидесяток и более крупных групп.
Для перевода целого десятичного числа в восьмеричную систему используют деление с остатком на 8. Первое деление находит число единиц в восьмеричной записи, то есть остаток для самого правого разряда; частное можно делить дальше, чтобы найти старшие разряды. Например, при переводе 202₁₀ остатки появляются по порядку от младшего разряда к старшему. Поэтому их записывают в обратном порядке — снизу вверх в столбике делений.
Результат удобно проверять обратным преобразованием. Если полученное восьмеричное число разложить по степеням 8 и снова получить исходное десятичное число, перевод выполнен согласованно. Например, для 312₈ вычисление 3·8² + 1·8 + 2 даёт 202. Индекс основания также важен: запись 202₁₀ и запись 202₈ обозначают разные значения, поэтому индекс помогает не спутать число с его способом записи.
| Элемент записи | Вес разряда | Допустимые цифры | Пример вклада в число |
|---|---|---|---|
| Разряд единиц | 8⁰ = 1 | 0–7 | 5 в числе 25₈ даёт 5·1 = 5 |
| Разряд восьмёрок | 8¹ = 8 | 0–7 | 2 в числе 25₈ даёт 2·8 = 16 |
| Разряд 8² | 8² = 64 | 0–7 | 1 в числе 156₈ даёт 1·64 = 64 |
| Разряд 8³ | 8³ = 512 | 0–7 | 3 в числе 3125₈ даёт 3·512 = 1536 |
| Цифры восьмеричной системы | Не относится к разряду | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 | Каждая цифра показывает число групп своего веса |
Чтобы определить вклад цифры, найдите её разряд и умножьте цифру на вес из второго столбца. В разряде единиц вес равен 1, а при движении влево он каждый раз умножается на 8. Последняя строка напоминает, какие символы можно использовать в любой позиции записи.
В записи две цифры, поэтому есть разряд единиц и разряд восьмёрок. Цифра 2 стоит слева и показывает количество восьмёрок, а цифра 5 справа — количество единиц. Переводим каждый вклад отдельно, а затем складываем.
Ответ: 25₈ = 21₁₀. Получилось больше 25, потому что в исходной записи основание не десять, а восемь: цифра 2 здесь означает две восьмёрки.
Для перевода нужно учесть три разряда: единицы, восьмёрки и 8². После сложения проверим результат обратным переводом: разложим его на группы по 8 и посмотрим, получаются ли цифры 156. Такая проверка помогает обнаружить ошибку в умножении или сложении.
Ответ: 156₈ = 110₁₀; обратный перевод подтвердил результат. При проверке важно не читать остатки в порядке их получения: первый остаток относится к разряду единиц.
Деление на 8 позволяет последовательно найти цифры будущей записи. Остаток от первого деления станет последней цифрой, потому что он показывает единицы; каждое следующее деление открывает разряд крупнее. Поэтому в конце остатки нужно развернуть в обратную сторону.
Ответ: 202₁₀ = 312₈. Проверка вернула исходное десятичное число, поэтому перевод выполнен правильно.
Использовать цифры 8 или 9. Иногда восьмеричную запись по привычке продолжают цифрами десятичной системы. Но допустимый набор заканчивается на 7, а после него нужно перейти к следующему разряду. Проверьте каждую цифру записи: если встретились 8 или 9, число записано неверно.
Брать веса как степени 10. Это происходит, когда забывают, что именно основание определяет веса разрядов. В восьмеричной системе справа налево идут 8⁰, 8¹, 8² и далее, а не 10⁰, 10¹, 10². Перед вычислением подпишите веса разрядов и убедитесь, что основание в них равно 8.
Записывать остатки в порядке их получения. Первый остаток относится к разряду единиц, а значит, должен оказаться справа, хотя при делении он появляется первым. Чтобы не переставить разряды, выписывайте остатки столбиком и читайте снизу вверх. Проверка переводом в десятичную систему покажет, совпадает ли значение.
Путать число с его записью. Запись 25 может иметь разное значение в зависимости от системы, поэтому без основания её смысл иногда неясен. Ошибка возникает, если считать, что набор цифр сам по себе всегда задаёт значение. Ставьте основание индексом, например 25₈ или 25₁₀, и проверяйте, что цифры допустимы для указанной системы.
Для понимания восьмеричной записи нужны знания о позиционной записи числа и разрядах: они объясняют, почему одна и та же цифра может иметь разный вклад. При вычислениях пригодятся степени числа и деление с остатком — на них основаны оба способа перевода. Восьмеричная система связана с изучением других систем счисления и представлением данных в компьютере: общие правила позиционной записи помогают сравнивать разные способы записи чисел.
Почему в восьмеричной системе нельзя использовать цифры 8 и 9?
В этой системе всего восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Цифры 8 и 9 не входят в набор символов, поэтому их нельзя использовать в записи восьмеричного числа.
Как понять, в какой системе записано число?
Основание часто указывают маленьким индексом справа: например, 25₈ — восьмеричное число, а 25₁₀ — десятичное. Если индекс не написан, систему можно определить по условию задачи или принятому контексту.
Почему при переводе десятичного числа остатки читают в обратном порядке?
Первый остаток показывает цифру разряда единиц, следующий — разряда восьмёрок, затем идут разряды 8² и выше. Поэтому остатки, полученные от младшего разряда к старшему, нужно записать в обратном порядке.
Как перевести восьмеричное число в десятичное?
Каждую цифру умножают на вес её разряда — соответствующую степень 8, начиная с 8⁰ справа. Затем полученные произведения складывают.
Как проверить, правильно ли выполнен перевод?
Переведите полученный результат обратно в исходную систему. Если обратное преобразование возвращает начальное число, вычисления согласуются; например, восьмеричный ответ можно проверить разложением по степеням 8.
§ 9. Восьмеричная система счисления
