§ 8. Двоичная система счисления

Определения и обозначения

Система счисления — способ записи чисел с помощью определённых цифр и правил их использования. Например, в знакомой десятичной системе используются цифры от 0 до 9. Это определение помогает понять, почему одно и то же количество можно записать по-разному: запись зависит от выбранной системы.

Позиционная система счисления — система, в которой значение цифры зависит от её положения в записи числа. Например, в числе 55 левая пятёрка обозначает пять десятков, а правая — пять единиц. Такое правило нужно, чтобы одной и той же цифрой можно было записывать разные значения в разных разрядах.

Основание системы счисления — количество цифр, используемых в системе, и число, показывающее изменение веса соседних разрядов. В десятичной системе основание равно 10, поэтому каждый следующий разряд справа налево в десять раз весомее предыдущего. Зная основание, можно определить, какие цифры допустимы и каков вес каждого разряда.

Двоичная система счисления — позиционная система с основанием 2, использующая только цифры 0 и 1. В записи числа цифра показывает, присутствует ли соответствующая степень двойки: 1 означает, что её нужно учесть, а 0 — что нет. Эта система нужна для записи чисел в виде, удобном для обработки компьютером.

Как это устроено

В позиционной системе разряд справа налево получает всё больший вес: единицы, десятки, сотни и так далее. Если основание равно b, веса разрядов равны b⁰, b¹, b² и следующим степеням. Степень для крайнего правого разряда начинается с нуля, потому что этот разряд содержит единицы, а любое основание в нулевой степени равно 1. Поэтому число можно представить как сумму значений всех его разрядов.

В двоичной системе основание равно 2, а значит, допустимы ровно две цифры: 0 и 1. После единицы нельзя записать цифру 2, потому что такой цифры в наборе системы нет; вместо этого выполняют переход в следующий разряд. Вес при каждом таком переходе удваивается: справа налево идут 1, 2, 4, 8 и далее. Поэтому запись 10₂ означает два, а не десять.

Чтобы получить десятичное значение двоичной записи, каждую цифру умножают на вес её разряда, а результаты складывают. Например, в записи 1011₂ единицы стоят при весах 8, 2 и 1, а ноль — при весе 4. Получается сумма 8 + 2 + 1 = 11. Такой способ работает потому, что позиционная запись и есть сокращённая запись суммы разрядов.

Перевод из десятичной системы удобно выполнять последовательным делением числа на 2. При каждом делении записывают остаток — он равен 0 или 1 и задаёт очередную двоичную цифру, начиная с самого правого разряда. Частное снова делят на 2, пока оно не станет равно нулю. Остатки читают снизу вверх, потому что первый из них относится к младшему разряду, а последний — к старшему.

Двоичные числа складывают поразрядно справа налево, поскольку значение каждого разряда определяется его местом. Если в столбце получается 0 или 1, эту цифру и записывают; если сумма равна двум, то это 10₂. Поэтому в текущем столбце ставят 0, а единицу переносят в следующий разряд. Перенос сохраняет значение суммы: две единицы одного веса заменяются одной единицей веса вдвое больше.

Сравнение десятичной и двоичной позиционных систем

Сравнивай строки таблицы, чтобы увидеть, что обе системы позиционные, но у них разные основания и наборы цифр. Строка с весами разрядов помогает проверять перевод чисел, а правило перехода — понимать перенос при сложении. Число 13₁₀ и число 1101₂ обозначают одно и то же количество.

Разбор задач

Задача: перевести число 13 из десятичной системы счисления в двоичную. Нужно найти запись только из цифр 0 и 1, которая при обратном переводе даст 13. Удобно делить число на 2 и сохранять остатки: так последовательно определяются разряды, начиная с правого.

1. Делим 13 на 2: частное 6, остаток 1.
2. Делим 6 на 2: частное 3, остаток 0; затем 3 на 2: частное 1, остаток 1.
3. Делим 1 на 2: частное 0, остаток 1. Читаем остатки снизу вверх: 1101₂.

Ответ: 13₁₀ = 1101₂. Проверка по разрядам даёт 8 + 4 + 0 + 1 = 13. Она подтверждает, что остатки записаны в правильном порядке.

Задача: перевести число 101101₂ в десятичную систему счисления. Сначала подпишем веса разрядов справа налево: 2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵. Затем умножим каждую цифру на соответствующий вес и сложим полученные значения, не забывая, что нулевой разрядный вклад равен нулю.

1. Записываем сумму: 1·2⁵ + 0·2⁴ + 1·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰.
2. Вычисляем степени двойки: 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1.
3. Складываем: 32 + 8 + 4 + 1 = 45.

Ответ: 101101₂ = 45₁₀. При проверке удобно сложить только веса тех разрядов, где стоит 1. Так меньше риск ошибиться в вычислениях с нулевыми цифрами.

Задача: выполнить сложение 110101₂ + 10111₂. Выравниваем записи по правому краю и мысленно дополняем короткое число нулём слева: 110101 и 010111. Начинаем справа; при сумме двух единиц записываем 0 и переносим 1 в следующий столбец.

1. В первом столбце 1 + 1 = 10₂: пишем 0, переносим 1.
2. Во втором столбце 0 + 1 + 1 = 10₂; в третьем 1 + 1 + 1 = 11₂. Продолжаем справа налево, учитывая каждый перенос.
3. Результат сложения столбцов: 1001100₂.

Ответ: 110101₂ + 10111₂ = 1001100₂. Проверка переводом в десятичную систему: 110101₂ = 53, а 10111₂ = 23; сумма равна 76. Запись 1001100₂ также равна 64 + 8 + 4 = 76.

Типичные ошибки

Ошибка: использовать в двоичной записи цифры 2–9. Так бывает, когда ученик переносит привычный набор цифр из десятичной системы и забывает основание двоичной. Проверяй каждую запись: в ней должны встречаться только 0 и 1. Если после сложения возникает пара 10, это не новая цифра, а результат переноса.

Ошибка: начать отсчёт степеней двойки с 2¹. Крайний правый разряд имеет вес 2⁰ = 1, а следующий — 2¹ = 2. Путаница сдвигает все веса и даёт неверное десятичное значение. Для самопроверки подпиши разряды справа налево, начиная с нуля.

Ошибка: записать остатки при переводе делением сверху вниз. Первый остаток соответствует младшему разряду, поэтому такой порядок перевернёт результат. Читай остатки снизу вверх, когда частное дошло до нуля. Проверить ответ можно обратным переводом в десятичную систему.

Ошибка: складывать двоичные числа как десятичные и не выполнять перенос. Ученик может записать 1 + 1 как 2, хотя цифры 2 в двоичной системе нет. Вместо этого в столбце ставят 0, а 1 переносят влево. Проверь сложение, переведя слагаемые и результат в десятичную систему.

Связь с другими темами

Для понимания позиционной записи понадобятся знания о разрядах числа, степенях и сложении. Разряды показывают место цифры, степени помогают найти вес каждого места, а сложение нужно для обратного перевода в десятичную систему. Если эти понятия знакомы, двоичная запись становится ещё одним способом представить уже известные числа.

Двоичная система связана с тем, как компьютер хранит и обрабатывает данные. В электронных устройствах удобно различать два состояния, поэтому им сопоставляют 0 и 1. Позднее двоичная запись помогает разбираться в кодировании информации: текст, изображения и другие данные представляются последовательностями таких значений.

Что запомнить

• Основание двоичной системы равно 2.
• В двоичной системе используются только цифры 0 и 1.
• Вес разряда равен степени двойки.
• Крайний правый разряд имеет вес 2⁰.
• Двоичное число переводят в десятичное сложением степеней двойки.
• При переводе делением остатки читают снизу вверх.
• В двоичной арифметике 1 + 1 = 10₂.