§ 7. Системы счисления

Определения и обозначения

Система счисления — способ записи чисел с помощью определённого набора символов и правил. Она нужна, чтобы записывать и сравнивать числа по единым правилам. Разные системы могут использовать разные символы и по-разному задавать значение записи.

Основание системы счисления — количество различных цифр, используемых в системе; в позиционной системе оно также определяет вес разрядов. Например, основание двоичной системы равно 2, а десятичной — 10. Это понятие помогает определить, какие цифры допустимы и как расшифровать запись числа.

Позиционная система счисления — система, в которой значение цифры зависит от её места в записи числа. Например, в числе 347 цифра 3 означает три сотни, а в числе 37 — три десятка. Понимание позиции позволяет представить число как сумму разрядных слагаемых.

Непозиционная система счисления — система, в которой значение символа не зависит от его места в записи числа. Так устроена, например, римская запись: символ X обычно обозначает десять, где бы он ни находился, хотя правила сочетания символов могут влиять на запись. Это определение нужно, чтобы отличать такие системы от привычной десятичной.

Как это устроено

В позиционной системе вклад цифры определяется и самой цифрой, и её разрядом: цифра умножается на вес места, которое занимает. В непозиционной системе символ сам несёт значение, поэтому его положение обычно не задаёт множитель-разряд. Различие возникает из-за правил записи: в первом случае число строится из разрядов, во втором — из значений символов и правил их сочетания.

Основание определяет набор цифр, потому что для записи одного разряда нужны ровно n обозначений: от нуля до числа на единицу меньше основания. Поэтому в системе с основанием n используют цифры от 0 до n − 1. Если разрешить цифру, равную основанию, её значение можно было бы заменить единицей следующего разряда и нулём в текущем.

Разряды связаны с основанием степенями, потому что каждый переход на одну позицию влево увеличивает вес в n раз. Самая правая позиция имеет вес n⁰ = 1, следующая — n¹, затем n² и далее. Так можно определить вклад цифры в число независимо от того, записано оно в двоичной, десятичной или другой позиционной системе.

Чтобы разложить число по разрядам, нужно каждую цифру умножить на вес её позиции, а полученные слагаемые сложить. Например, запись 347₁₀ означает 3·10² + 4·10¹ + 7·10⁰. Такая запись показывает, почему цифра 3 здесь обозначает три сотни, а не просто три единицы.

Двоичное число читают по цифрам 0 и 1, а его значение определяют по степеням двойки; индекс у записи показывает основание. В системах с основанием больше десяти одних цифр 0–9 не хватает, поэтому для значений от 10 используют буквы. Например, в шестнадцатеричной системе A означает 10, B — 11, а F — 15; это отдельные цифры, а не несколько символов подряд.

Основные позиционные системы счисления

Сравнивайте столбцы: основание сразу показывает, какие цифры допустимы и как меняется вес разряда. В строках с числами 10 и 15 указаны записи одного и того же значения в разных системах. Индекс помогает не спутать основание записи с самим числом.

Разбор задач

Задача 1. Представить число 347 в виде суммы разрядных слагаемых в десятичной системе. Здесь основание равно 10, а цифры стоят в разрядах сотен, десятков и единиц. Поэтому каждую цифру нужно умножить на вес её позиции.

1. Определяем веса справа налево: 10⁰ = 1, 10¹ = 10, 10² = 100.
2. Умножаем цифры на веса: 7·1 = 7, 4·10 = 40, 3·100 = 300.
3. Записываем сумму разрядных слагаемых: 347 = 3·10² + 4·10¹ + 7·10⁰ = 300 + 40 + 7.

Ответ: 347 = 300 + 40 + 7. Проверка проста: сумма слагаемых должна восстановить исходное число.

Задача 2. Перевести число 101101₂ в десятичную систему. В двоичной записи разрешены только нули и единицы, а вес каждого разряда — степень 2. Начинаем считать разряды справа, потому что именно там находится вес 2⁰.

1. Подписываем веса справа налево: 2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵.
2. Раскладываем запись: 101101₂ = 1·2⁵ + 0·2⁴ + 1·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰.
3. Считаем сумму: 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 45.

Ответ: 101101₂ = 45₁₀. Нулевые цифры не добавляют слагаемых, но их разряды нельзя пропускать: они сохраняют правильные веса цифр слева.

Задача 3. Перевести число 156₁₀ в двоичную систему. При делении на 2 частное показывает оставшуюся часть числа, а остаток становится очередным двоичным разрядом. Первым получаем младший разряд, поэтому остатки в конце потребуется развернуть.

1. Делим 156 на 2: частное 78, остаток 0; затем 78 на 2: 39, остаток 0.
2. Продолжаем: 39 : 2 = 19, остаток 1; 19 : 2 = 9, остаток 1; 9 : 2 = 4, остаток 1.
3. Завершаем деление: 4 : 2 = 2, остаток 0; 2 : 2 = 1, остаток 0; 1 : 2 = 0, остаток 1.
4. Читаем остатки снизу вверх: 10011100₂.

Ответ: 156₁₀ = 10011100₂. Для проверки разложим результат: 128 + 16 + 8 + 4 = 156, значит перевод выполнен верно.

Типичные ошибки

• Ошибка — считать, что цифра имеет одно и то же значение в любом месте записи. Так думают, если замечают только сам символ и забывают о разрядном весе. Проверка: умножьте цифру на вес её позиции и сравните вклад в разных разрядах.

• Ошибка — использовать цифру, равную основанию или превышающую его, например цифру 2 в двоичной записи. Это часто происходит, когда переносят привычные цифры из десятичной системы. Проверка: убедитесь, что каждая цифра лежит в диапазоне от 0 до n − 1.

• Ошибка — начинать нумерацию разрядов со степени основания 1. Причина в том, что считают первый разряд первым шагом, хотя он не сдвинут относительно самого себя. Проверка: у крайней правой цифры должен быть вес n⁰ = 1.

• Ошибка — читать остатки при переводе делением сверху вниз. Так поступают, потому что записывают действия в том порядке, в котором их выполняют, но первый остаток относится к правому разряду. Проверка: прочитайте остатки от последнего к первому и подставьте полученное число обратно в разложение.

Связь с другими темами

Для работы с позиционной записью полезно знать разрядный состав натурального числа: он помогает понять, почему каждая цифра умножается на свой вес. Правила действий со степенями нужны, чтобы уверенно работать с весами разрядов. Перевод между системами раскрывает, как числа представляются и обрабатываются в компьютере. Эти знания понадобятся при изучении кодирования информации, объёма данных и алгоритмов обработки чисел.

Что запомнить

• Основание позиционной системы показывает, сколько цифр в ней используется.
• В системе с основанием n допустимы цифры от 0 до n − 1.
• Вес правого разряда равен 1; веса следующих разрядов возрастают в n раз.
• Запись числа в позиционной системе можно представить суммой разрядных слагаемых.
• Двоичная система имеет основание 2, а десятичная — основание 10.
• При переводе делением на основание остатки читают в обратном порядке.