§ 10. Системы счисления

Определения и обозначения

Система счисления — это способ записи чисел с помощью заданных символов и правил. Одно и то же количество можно записать по-разному: например, 10₂ и 2₁₀ обозначают разные числа, хотя используют похожие знаки. Понимание системы счисления нужно, чтобы правильно читать записи и переводить их из одного вида в другой.

Цифра — символ, которым записывают число в выбранной системе счисления. Набор разрешённых цифр зависит от основания: чем оно больше, тем больше различных символов можно использовать. Это правило помогает сразу обнаружить неверную запись, например цифру 2 в двоичном числе.

Основание системы счисления — количество различных цифр, используемых в системе, включая ноль. Основание обозначают буквой b; в системе с основанием b разрешены цифры от 0 до b − 1. Основание определяет не только набор символов, но и величину каждого разряда.

Позиционная система счисления — система, в которой значение цифры зависит от её места в записи числа. Одна и та же цифра в единицах, десятках и сотнях обозначает разные величины. Благодаря этому короткая запись может представлять очень большие числа.

Как это устроено

Основание b определяет набор цифр, потому что для одного разряда нужны ровно b возможных значений: от нулевого до b − 1. Следующее значение уже нельзя обозначить одной цифрой, поэтому возникает перенос влево. Например, после 9 в десятичной системе появляется 10, а после 1 в двоичной — 10₂.

В позиционной записи каждый разряд связан со степенью основания. Крайний правый разряд имеет вес b⁰ = 1, следующий — b¹, затем b² и так далее. Поэтому цифра умножается на вес своего места, а получившиеся разрядные слагаемые складываются.

Запись 352 означает 3·10² + 5·10¹ + 2·10⁰, потому что цифра 2 стоит в разряде единиц, 5 — десятков, а 3 — сотен. Получаем 300 + 50 + 2 = 352. В системе с основанием b запись aₙaₙ₋₁…a₀ раскрывается как aₙ·bⁿ + aₙ₋₁·bⁿ⁻¹ + … + a₀·b⁰.

Чтобы перевести целое десятичное число в другую позиционную систему, его последовательно делят на новое основание. Каждый остаток показывает очередную цифру справа, то есть сначала находится младший разряд. Когда частное станет нулём, остатки читают от последнего к первому, потому что старшие разряды были найдены позднее.

Перевод из системы с основанием b в десятичную выполняют через сумму разрядных слагаемых. Двоичную запись удобно переводить в восьмеричную и шестнадцатеричную без промежуточной десятичной записи: группы из трёх разрядов соответствуют восьмеричным цифрам, а группы из четырёх — шестнадцатеричным. Это работает потому, что 8 = 2³, а 16 = 2⁴.

Основные характеристики позиционных систем счисления

Таблица показывает, чем отличаются распространённые позиционные системы. При чтении записи сначала определите основание, затем назначьте разрядам веса справа налево. Последняя строка позволяет проверить результат перевода в десятичную систему.

Разбор задач

Представить число 45 в двоичной системе счисления

Нужно получить запись числа 45 с основанием 2. Деление на 2 удобно тем, что остаток всегда равен 0 или 1 и сразу является двоичной цифрой. Последовательность частных продолжается до нуля.

1. 45 : 2 = 22, остаток 1.
2. 22 : 2 = 11, остаток 0.
3. 11 : 2 = 5, остаток 1; 5 : 2 = 2, остаток 1.
4. 2 : 2 = 1, остаток 0; 1 : 2 = 0, остаток 1.
5. Читаем остатки снизу вверх: 101101.

Ответ: 45₁₀ = 101101₂. Проверка даёт 32 + 8 + 4 + 1 = 45, поэтому запись верна.

Перевести число 101101₂ в десятичную систему

Каждая позиция в двоичной записи имеет вес, равный степени 2. Справа налево разрядам соответствуют степени от 0 до 5. Нулевые цифры не влияют на сумму, но их позиции учитывать необходимо.

1. Записываем разложение: 1·2⁵ + 0·2⁴ + 1·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰.
2. Вычисляем ненулевые слагаемые: 32 + 8 + 4 + 1.
3. Складываем их и получаем 45.

Ответ: 101101₂ = 45₁₀. Такой способ подходит для любого целого числа в системе с основанием b.

Перевести 11010110₂ в шестнадцатеричную, а затем проверить результат в десятичной системе

Шестнадцатеричная цифра кодирует четыре двоичных разряда, поэтому перевод можно выполнить без промежуточных вычислений. Группы строим справа налево. В данном числе длина записи делится на четыре, поэтому добавлять нули не нужно.

1. Разбиваем запись: 1101 0110.
2. Группа 1101 равна 13, то есть шестнадцатеричной цифре D; группа 0110 равна 6.
3. Получаем 11010110₂ = D6₁₆.
4. Проверяем: D6₁₆ = 13·16¹ + 6·16⁰ = 208 + 6 = 214₁₀.

Ответ: 11010110₂ = D6₁₆ = 214₁₀. Проверка разложением подтверждает результат группировки.

Типичные ошибки

Цифра 2 в двоичной записи недопустима. Ошибку допускают, когда путают основание с привычным десятичным набором цифр. Проверьте запись: все цифры должны быть меньше основания.

Нельзя считать, что значение цифры не зависит от позиции. Одинаковые цифры в разрядах единиц и десятков умножаются на разные степени основания. Для проверки подпишите под разрядами веса 1, b, b² и далее.

При последовательном делении остатки нельзя записывать в порядке получения как готовое число. Сначала находится младший разряд, поэтому такой порядок даёт перевёрнутый результат. Проверьте себя обратным переводом полученной записи в десятичную систему.

Группировать двоичные цифры нужно справа налево, а не слева направо. Иначе границы разрядов не совпадут с весами восьмеричной или шестнадцатеричной системы. Если левая группа неполная, дополните её нулями слева.

Связь с другими темами

До изучения систем счисления нужны навыки разрядной записи натуральных чисел и действий с целыми числами. Они помогают понимать, откуда берутся разрядные слагаемые и остатки при делении. Без этих операций алгоритмы перевода будут выглядеть формальными.

Знание степеней числа и алгоритмов перевода пригодится при изучении представления данных в компьютере. Двоичная система описывает работу цифровых устройств, а другие системы делают записи компактнее. Эти умения применяются при анализе кодов, адресов и форматов данных.

Двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная записи встречаются в компьютерных кодах, адресах и отладочной информации. Связь между ними основана на группировке двоичных разрядов. Поэтому перевод между такими системами часто выполняют напрямую.

Что запомнить

• Основание позиционной системы определяет допустимые цифры и вес каждого разряда.
• В системе с основанием b используются цифры от 0 до b − 1.
• Разряд справа налево имеет вес 1, b, b² и далее.
• Перевод в десятичную систему выполняют разложением по степеням основания.
• При переводе целого числа из десятичной системы делением остатки читают в обратном порядке.
• Одна группа из трёх двоичных разрядов соответствует одной восьмеричной цифре, а из четырёх — одной шестнадцатеричной.