§ 9. Системы счисления

Определения и обозначения

Система счисления — способ записи чисел с помощью определённого набора символов и правил. Она нужна, чтобы можно было однозначно представить количество и выполнять вычисления. Одно и то же число можно записать по-разному, если использовать разные системы.

Основание позиционной системы счисления — число, показывающее, сколько единиц каждого разряда образуют одну единицу следующего разряда. Например, в десятичной системе десять единиц одного разряда составляют единицу следующего. Основание помогает определить и набор цифр, и вес каждого места в записи.

Разряд числа — позиция цифры, определяющая её вклад в значение числа. В позиционной системе вклад зависит от веса разряда и самой цифры. Понятие разряда позволяет разложить запись числа на слагаемые и понять, почему перемещение цифры меняет значение.

Непозиционная система счисления — система, в которой значение символа не зависит от его позиции. Например, в римской записи символ X обычно обозначает десять независимо от того, где он стоит, хотя правила сочетания символов могут влиять на итоговое значение. Такое отличие помогает понять, почему современные вычисления обычно опираются на позиционные записи.

Как это устроено

В позиционной системе одна и та же цифра может обозначать разные количества, потому что её вклад задаётся местом в записи. В числе 222 цифра 2 в каждом разряде имеет один и тот же знак, но разный вес: единицы, десятки и сотни. В непозиционной системе символ сохраняет собственное значение, поэтому позиция не задаёт для него степень основания. Именно зависимость от позиции позволяет записывать большие числа небольшим набором цифр.

Основание задаёт набор допустимых цифр: если основание равно b, используются целые цифры от 0 до b − 1. Причина в том, что b единиц одного разряда уже образуют одну единицу следующего, поэтому отдельная цифра не должна достигать b. Так, в системе с основанием 5 допустимы 0, 1, 2, 3 и 4, а в двоичной — только 0 и 1. Для оснований больше десяти вводят дополнительные обозначения цифр.

Каждый разряд можно представить как число единиц соответствующего веса. В системе с основанием b веса целых разрядов равны b⁰, b¹, b² и так далее, поэтому значение числа получается сложением вкладов всех цифр. Например, цифра 4 в разряде b² даёт слагаемое 4·b², а цифра 0 в разряде ничего не добавляет, но сохраняет место остальных цифр. Такой способ разложения объясняет, как запись превращается в число.

У дробной части разряды продолжаются вправо от запятой, и каждый следующий разряд в b раз меньше предыдущего. Поэтому их веса записывают как b⁻¹, b⁻² и далее: в двоичной дроби это ½, ¼ и так далее. Для целой части степени основания неотрицательны, а для дробной — отрицательны. Например, 0,101₂ = 1·2⁻¹ + 0·2⁻² + 1·2⁻³.

Запись 1101₂ читают как «число 1101 в системе с основанием 2»: нижний индекс показывает основание, а не отдельную цифру. При основании до 10 обычно хватает цифр 0–9, а для оснований больше десяти нужны новые обозначения. В шестнадцатеричной системе применяют A, B, C, D, E и F для значений 10, 11, 12, 13, 14 и 15. Так запись остаётся компактной, а её значение можно вычислить по разрядам.

Позиционные системы счисления

Сопоставляйте основания и веса разрядов, чтобы увидеть, как одна общая схема работает в разных системах. Для двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем важно отдельно проверять допустимые цифры; в последней A–F обозначают значения от 10 до 15. Таблица также подсказывает, где системы встречаются в информатике.

Разбор задач

Допустимые цифры и разложение числа

Условие: определите допустимые цифры в системе с основанием 5 и разложите число 304₅ по разрядам. Сначала проверим, какие цифры могут встретиться в этой системе, а затем сопоставим цифрам веса их позиций. Крайняя справа цифра относится к разряду единиц, следующая — к разряду пятёрок, следующая — к разряду 25.

1. Для основания 5 берём цифры от 0 до 5 − 1. Значит, допустимы 0, 1, 2, 3 и 4; все цифры числа 304₅ этому условию удовлетворяют.
2. Записываем веса разрядов справа налево: 5⁰, 5¹ и 5². Получаем разложение 304₅ = 3·5² + 0·5¹ + 4·5⁰.
3. Вычисляем слагаемые: 3·25 + 0·5 + 4·1 = 75 + 0 + 4 = 79. Если требуется значение в десятичной системе, записываем 79₁₀.

Ответ: допустимы цифры 0, 1, 2, 3 и 4; 304₅ = 79₁₀. Нулевой разрядный вклад не исчезает из записи произвольно: он показывает, что в разряде пятёрок нет единиц.

Перевод целого числа делением

Условие: запишите десятичное число 45 в двоичной системе. Будем делить число на основание 2, каждый раз отмечая остаток. Остатки показывают цифры результата, начиная с младшего разряда, поэтому порядок записи определим после выполнения всех делений.

1. 45 : 2 = 22, остаток 1. Этот остаток станет последней справа цифрой двоичной записи.
2. 22 : 2 = 11, остаток 0; затем 11 : 2 = 5, остаток 1. Продолжаем делить частное на 2.
3. 5 : 2 = 2, остаток 1; 2 : 2 = 1, остаток 0; 1 : 2 = 0, остаток 1. Останавливаемся, когда частное стало нулём.
4. Читаем остатки от последнего к первому: 1, 0, 1, 1, 0, 1. Получаем 101101₂.

Ответ: 45₁₀ = 101101₂. Проверка обратным разложением даёт 1·2⁵ + 0·2⁴ + 1·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰ = 32 + 8 + 4 + 1 = 45.

Перевод дробного числа в десятичную систему

Условие: переведите 110101,101₂ в десятичную систему. Целую и дробную части разберём отдельно, потому что справа от запятой веса разрядов становятся дробными. Затем сложим все ненулевые вклады, не забывая, что нулевая цифра сохраняет позицию, но не добавляет слагаемого.

1. Для целой части назначаем разрядам слева направо степени 5, 4, 3, 2, 1 и 0. Получаем 110101₂ = 1·2⁵ + 1·2⁴ + 0·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰ = 32 + 16 + 4 + 1 = 53.
2. Для дробной части после запятой используем степени −1, −2 и −3. Тогда 0,101₂ = 1·2⁻¹ + 0·2⁻² + 1·2⁻³ = ½ + ⅛ = 0,625.
3. Складываем результаты для целой и дробной частей: 53 + 0,625 = 53,625.

Ответ: 110101,101₂ = 53,625₁₀. Проверка порядка дробных весов проста: первая цифра после запятой должна давать половину единицы, а не целое число.

Типичные ошибки

Ошибка: использовать цифру, равную основанию или превышающую его. Например, цифра 5 недопустима в системе с основанием 5, потому что пять единиц разряда уже составляют единицу следующего. Такую ошибку допускают, перенося привычные десятичные цифры в другую систему без проверки. Сверьте каждую цифру с диапазоном от 0 до основания минус 1.

Ошибка: читать остатки при переводе делением в порядке их получения. Первый остаток относится к самому младшему разряду, поэтому при прямом чтении получится перевёрнутая запись. Это легко упустить, если считать остатки просто последовательностью ответа. Проверка: прочитайте их снизу вверх и переведите результат обратно в десятичную систему.

Ошибка: забывать отрицательные степени у дробных разрядов. Тогда цифры после запятой ошибочно принимают за целые единицы или используют для них те же веса, что и слева. Путаница возникает из-за привычки считать разряды только в целой части. Проверяйте, что сразу после запятой стоит вес b⁻¹, а дальше — b⁻², b⁻³ и так далее.

Ошибка: считать одинаковую последовательность цифр одинаковым числом при разных основаниях. Например, 10₂ и 10₁₀ имеют разные значения, поскольку веса разрядов в этих системах различаются. Часто забывают указать основание или по умолчанию читают запись как десятичную. Подписывайте основание и проверяйте значение разложением по степеням именно этого основания.

Связь с другими темами

Для понимания разрядов нужны знания о натуральных числах, степенях и разложении числа на слагаемые. Степени показывают, какой вес имеет каждая позиция, а сложение разрядных вкладов возвращает значение записи. Эта же идея позволяет переводить число между системами: его можно сначала представить через степени основания или последовательно разделить на новое основание.

Позиционные системы напрямую связаны с представлением данных в компьютере: двоичная система использует значения 0 и 1. Перевод чисел между системами нужен, чтобы сопоставлять компьютерную запись с привычной десятичной и использовать более короткие восьмеричные или шестнадцатеричные записи. Освоение разрядов помогает читать такие представления, не смешивая цифры и их веса.

Что запомнить

• Основание позиционной системы задаёт количество цифр и вес каждого разряда.
• В системе с основанием b допустимы цифры от 0 до b − 1.
• Вес целого разряда равен степени основания с неотрицательным показателем.
• Вес дробного разряда равен степени основания с отрицательным показателем.
• Значение позиционной записи равно сумме разрядных слагаемых.
• При переводе целого числа делением на основание остатки читают в обратном порядке.