"Информатика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Поляков К.Ю., Еремин Е.А.
Позиционная система счисления позволяет записывать числа с помощью цифр, значение которых определяется не только самой цифрой, но и её местом. Основание системы задаёт набор допустимых цифр и веса разрядов: каждый следующий разряд слева в несколько раз больше предыдущего. Разобравшись с этим принципом, можно находить значение любой записи, переводить числа из одной системы в другую и понимать, как компьютер представляет данные с помощью двоичного кода.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Позиционная система счисления — система записи чисел, в которой значение цифры зависит от её положения в записи. Например, в числе 222 цифра 2 в каждом разряде вносит разный вклад. Это определение помогает отличать позиционную запись от способов, где значение знака не меняется из-за места.
Основание системы счисления — число, показывающее, во сколько раз меняется значение соседних разрядов; в системе с основанием b используются цифры от 0 до b − 1. Например, в двоичной системе основание равно 2, поэтому допустимы только 0 и 1. Зная основание, можно проверить, подходит ли запись и какие веса будут у разрядов.
Разряд — позиция цифры в записи числа; его вес равен соответствующей целой степени основания системы. В записи 345₁₀ крайняя справа цифра стоит в разряде единиц, а следующая — в разряде десятков. Понятие разряда нужно, чтобы определить вклад каждой цифры в значение числа.
Развёрнутая запись числа — представление числа в виде суммы цифр, умноженных на веса их разрядов. Например, 345₁₀ = 3 · 10² + 4 · 10¹ + 5 · 10⁰. Такая запись показывает, как из цифр и основания складывается значение числа, и помогает переводить его в другую систему.
В позиционной записи каждый шаг влево означает переход к разряду, который в b раз весомее предыдущего. Это происходит потому, что десять единиц одного разряда составляют единицу следующего в десятичной системе, а в другой системе роль десяти выполняет её основание. Поэтому веса разрядов образуют ряд степеней: …, b³, b², b¹, b⁰. Например, в двоичной системе это …, 8, 4, 2, 1.
Чтобы узнать значение записи, цифру каждого разряда умножают на его вес и складывают полученные числа. У целой части справа налево идут степени b⁰, b¹, b² и так далее, а у дробной части справа от запятой — b⁻¹, b⁻² и далее. Отрицательные степени нужны потому, что дробные разряды имеют веса меньше единицы. Так, 0,1₂ = 1 · 2⁻¹ = ½, а 10,1₂ = 1 · 2¹ + 1 · 2⁻¹ = 2,5₁₀.
Для перевода целого десятичного числа в систему с основанием b его последовательно делят на b. Остаток первого деления показывает цифру младшего разряда, потому что это число единиц, не образовавших ни одного полного набора по b. Остатки следующих делений отвечают за всё более старшие разряды. Поэтому их записывают в обратном порядке — от последнего к первому.
Дробную часть десятичного числа переводят иначе: её умножают на основание b, а целую часть каждого результата записывают по порядку. Первая целая часть задаёт первый разряд после запятой, следующая — второй. Это объясняется тем, что умножение переносит вклад текущей дробной части в следующий разряд. Если дробь не превращается в ноль, запись может быть бесконечной, поэтому вычисления останавливают на требуемой точности.
Когда основания систем связаны степенью двойки, перевод можно выполнить группировкой двоичных разрядов. Основание 8 равно 2³, поэтому одна восьмеричная цифра соответствует трём битам; основание 16 равно 2⁴, значит, одной шестнадцатеричной цифре отвечают четыре бита. Целую часть группируют справа налево, а дробную — слева направо, так как отсчёт разрядов идёт от запятой в разные стороны. Если в крайней группе не хватает цифр, добавляют нули со стороны, удалённой от запятой.
| Система счисления | Основание | Используемые цифры | Пример записи числа десять |
|---|---|---|---|
| Двоичная | 2 | 0, 1 | 1010₂ |
| Восьмеричная | 8 | 0–7 | 12₈ |
| Десятичная | 10 | 0–9 | 10₁₀ |
| Шестнадцатеричная | 16 | 0–9, A–F | A₁₆ |
Сначала найдите в таблице основание и набор цифр — это позволит проверить, допустима ли запись. Затем используйте пример последнего столбца, чтобы увидеть, как одно и то же значение выглядит в разных системах. В шестнадцатеричной системе буквы A–F обозначают значения от 10 до 15.
Нужно получить цифры разрядов двоичной записи. Для этого делим число на 2, а остатки сохраняем: каждый остаток показывает, есть ли соответствующая степень двойки в числе. Частные продолжаем делить, пока не получим ноль.
Ответ: 25₁₀ = 11001₂. Проверка: 1 · 2⁴ + 1 · 2³ + 1 · 2⁰ = 16 + 8 + 1 = 25.
Запишем каждый разряд как степень основания 2, начиная с нулевой степени справа. Нулевой разряд не добавит значения, но его всё равно учитываем при определении степеней для остальных цифр. Затем сложим вклады разрядов.
Ответ: 101101₂ = 45₁₀. Нули можно не включать в сумму, но нельзя пропускать соответствующие разряды: из-за них соседние цифры имеют разные веса.
Поскольку 16 = 2⁴, делим двоичную запись на группы по четыре цифры справа налево. Каждую группу заменяем шестнадцатеричной цифрой, значение которой равно значению этой четвёрки. Проверка в десятичной системе покажет, что обе записи обозначают одно число.
Ответ: 11010111₂ = D7₁₆ = 215₁₀. Совпадение десятичных значений подтверждает перевод; буква D обозначает цифру со значением 13.
Первая ошибка — считать, что цифра имеет одно и то же значение в любой позиции. Её допускают, когда смотрят только на символ и забывают о весе разряда: в числе 222₁₀ цифры дают вклады 200, 20 и 2. Проверяйте себя разложением записи по степеням основания и складывайте вклады.
Вторая ошибка — использовать цифру, недопустимую в выбранном основании. Например, цифра 2 не может встречаться в двоичной записи, потому что там разрешены только 0 и 1. Причина обычно в том, что основание принимают за условное название, а не за границу набора цифр. Перед вычислениями проверьте каждый знак: он должен быть меньше основания.
Третья ошибка — читать остатки от деления в порядке их получения. Так младший разряд оказывается ошибочно поставлен на место старшего, хотя первый остаток показывает число единиц, а не наибольший разряд. Чтобы проверить порядок, выполните обратный перевод полученной записи в десятичную систему и сравните с исходным числом.
Четвёртая ошибка при переводе дроби — выписывать дробные части произведений вместо целых или менять порядок цифр. Так происходит, если забыть, что целая часть первого результата задаёт первый разряд после запятой. Записывайте именно целые части последовательно и проверяйте первые разряды повторным умножением остатка на основание.
Для изучения позиционных систем нужно уметь читать десятичные числа, различать разряды и находить степени натуральных чисел. Эти знания позволяют понять, почему вклад цифры зависит от её места и как вычисляется значение записи. Без них развёрнутая запись превращается в набор символов без ясного смысла.
Позиционные системы помогают понять, как компьютер представляет данные: в основе двоичного кодирования лежат две цифры — 0 и 1. Переводы между системами пригодятся при изучении арифметических операций в разных основаниях и компьютерных кодов. Это также даёт способ компактно записывать двоичные последовательности с помощью восьмеричных и шестнадцатеричных цифр.
Почему в записи числа 222 цифры 2 имеют разные значения?
В десятичной записи разряды справа налево имеют веса 1, 10, 100 и далее. Поэтому цифра 2 в числе 222 означает 2 единицы, 2 десятка и 2 сотни. Её вклад зависит от позиции.
Как понять, допустима ли цифра в системе с заданным основанием?
В системе с основанием b допустимы целые цифры от 0 до b − 1. Например, в восьмеричной системе можно использовать 0–7, а цифра 8 в ней недопустима.
Почему при переводе целого числа остатки нужно читать снизу вверх?
При последовательном делении на основание первый остаток относится к младшему разряду, а последний — к старшему. Поэтому правильная запись получается, если прочитать остатки в порядке, обратном их появлению.
Как переводить десятичную дробь в двоичную систему?
Дробную часть последовательно умножают на 2. Целую часть каждого результата выписывают по порядку — это цифры двоичной дроби. Процесс продолжают, пока дробная часть не станет нулём или пока не будет достигнута нужная точность.
Почему двоичные цифры удобно группировать по четыре при переводе в шестнадцатеричную систему?
Шестнадцать равно 2⁴, поэтому каждая шестнадцатеричная цифра точно соответствует группе из четырёх двоичных разрядов. Группировка позволяет заменить длинную двоичную запись короткой, не вычисляя число в десятичной системе.
§ 10. Позиционные системы счисления
