§ 11. Двоичная система счисления

Определения и обозначения

Система счисления — способ записи чисел с помощью набора цифр и правил их значения. Одни и те же знаки могут обозначать разные величины в разных системах. Это понятие нужно, чтобы отличать саму запись числа от его значения.

Позиционная система счисления — система, в которой значение цифры определяется её местом в записи числа. Например, цифра 5 в числе 50 означает десятки, а в числе 5 — единицы. Позиция показывает, какой вес нужно придать цифре.

Основание системы счисления — количество цифр в системе и число, во сколько раз изменяется вес соседних разрядов. В десятичной системе основание равно 10, а в двоичной — 2. По основанию можно построить веса всех разрядов.

Двоичная система счисления — позиционная система с основанием 2, использующая только цифры 0 и 1. Запись 0 или 1 в каждом двоичном разряде показывает, входит ли его вес в число. Нижний индекс ₂ после записи указывает на двоичную систему.

Как это устроено

В позиционной системе каждый разряд левее вмещает в себя столько младших разрядов, сколько равно основанию системы. Поэтому при переходе на один разряд влево вес умножается на основание: в десятичной системе получаются 1, 10, 100, а в двоичной — 1, 2, 4, 8. Такое правило связано с переносом: когда в разряде набирается основание единиц, их заменяют одной единицей следующего разряда.

Двоичная запись раскладывается по степеням двойки, начиная справа с 2⁰. Цифра 1 означает, что соответствующий вес входит в число, а цифра 0 — что этот вес не используется. Например, в записи 10110₂ присутствуют веса 16, 4 и 2, но отсутствуют 8 и 1.

Чтобы перевести двоичное число в десятичное, каждому разряду назначают его степень двойки, умножают цифру на этот вес и складывают результаты. Умножение на ноль даёт нулевой вклад, поэтому разряды с нулём можно пропускать. Так запись превращается в обычную сумму чисел, которую легко вычислить.

Для перевода целого десятичного числа в двоичное его последовательно делят на 2. Остаток при каждом делении равен 0 или 1 и показывает очередной разряд, начиная с самого правого. Частное снова делят на 2, пока оно не станет нулём, а затем записывают найденные остатки в обратном порядке.

Двоичная система удобна для компьютера, потому что электронный элемент может находиться в одном из двух устойчивых состояний: например, сигнал есть или сигнала нет. Им можно сопоставить 1 и 0. Цепочки таких значений позволяют хранить числа, текст, изображения и команды, не требуя от схемы надёжно различать десять уровней.

Сравнение десятичной и двоичной систем счисления

Сначала определите основание системы, затем выпишите веса разрядов справа налево. Строка с разложением показывает, как запись превращается в сумму. Последняя строка помогает увидеть, что разные записи могут обозначать одно и то же число.

Разбор задач

Перевод двоичного числа 101101₂ в десятичную систему счисления

Нужно найти значение каждой позиции, начиная с правого края. Нули не добавляют ничего, а единицы оставляют соответствующий вес в сумме. Поэтому запись удобно сразу разложить по степеням двойки.

1. Назначим разрядам справа налево веса 2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴ и 2⁵.
2. Запишем сумму: 101101₂ = 1·2⁵ + 0·2⁴ + 1·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰.
3. Вычислим её: 32 + 8 + 4 + 1 = 45.

Ответ: 101101₂ = 45₁₀.

Перевод десятичного числа 45₁₀ в двоичную систему счисления

При делении на 2 каждый остаток становится очередным двоичным разрядом. Первым находится младший разряд, поэтому порядок получения не совпадает с порядком записи числа. Выполним деление до нулевого частного.

1. 45 : 2 = 22, остаток 1; 22 : 2 = 11, остаток 0; 11 : 2 = 5, остаток 1.
2. Продолжим: 5 : 2 = 2, остаток 1; 2 : 2 = 1, остаток 0; 1 : 2 = 0, остаток 1.
3. Прочитаем остатки снизу вверх: 101101.

Ответ: 45₁₀ = 101101₂.

Сложение 110101₂ и 10111₂

Запишем слагаемые друг под другом, выровняв их по правому краю. Складываем справа налево и переносим единицу, когда сумма в разряде достигает 2. После этого проверим результат переводом в десятичную систему.

1. Выравниваем: 110101₂ + 010111₂.
2. По разрядам получаем: 1 + 1 = 10₂, затем учитываем переносы; итоговая запись равна 1001100₂.
3. Проверяем: 110101₂ = 53₁₀, 10111₂ = 23₁₀, а 53 + 23 = 76; 1001100₂ = 76₁₀.

Ответ: 110101₂ + 10111₂ = 1001100₂.

Типичные ошибки

Чтение двоичной записи как десятичной. Запись 1011₂ не означает тысячу одиннадцать: её цифры имеют двоичные веса. Проверьте себя разложением 1·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 1·2⁰.

Неправильное назначение весов. Иногда степени начинают с 2¹, потому что считают первый разряд единицей. Правильно начинать справа с 2⁰, иначе каждый вес окажется вдвое больше нужного.

Чтение остатков в исходном порядке. Первый остаток относится к единицам, то есть к правому краю результата. Чтобы проверить порядок, сравните полученную запись с обратным переводом по степеням двойки.

Ошибки в сложении. Прибавление 1 + 1 даёт 0 в текущем разряде и перенос 1 в следующий, а не цифру 2. После сложения проверьте ответ переводом обоих слагаемых и суммы в десятичную систему.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны степени двойки, разложение числа по разрядам и правила письменного сложения. Эти навыки объясняют веса позиций и переносы.

Дальше двоичная запись используется при представлении чисел, текста и других данных в памяти компьютера. Она связывает математические операции с устройством цифровых систем.

Двоичные разряды и байты встретятся при изучении кодирования информации и компьютерных систем. Группы битов позволяют компактно описывать значения, символы и команды.

Что запомнить

• Основание двоичной системы равно 2.
• В двоичной системе используются только цифры 0 и 1.
• Вес крайнего справа разряда равен 2⁰.
• Вес каждого следующего разряда вдвое больше предыдущего.
• Двоичное число переводят в десятичное через сумму степеней двойки.
• При переводе десятичного числа делением на 2 остатки читают снизу вверх.
• Двоичная система является основой представления данных в компьютере.