§ 1. Системы счисления

Определения и обозначения

Система счисления — способ записи чисел с помощью набора символов и правил их использования. Она позволяет представить количество в понятной форме и выполнять действия с числами. Разные системы могут использовать разные символы и правила записи.

Основание системы счисления — количество различных цифр в позиционной системе; оно определяет, во сколько раз меняется разрядный вес. Основание помогает понять, какие цифры допустимы и как устроена запись числа. Например, в двоичной системе основание равно 2, а в десятичной — 10.

Цифра — символ, которым записывают число; в системе с основанием q используются цифры от 0 до q − 1. Например, для основания 8 допустимы цифры от 0 до 7. Это правило позволяет проверить, может ли данная запись быть числом в выбранной системе.

Позиционная система счисления — система, в которой значение цифры зависит от её положения в записи числа. Например, в десятичном числе 55 левая пятёрка означает 50, а правая — 5. Понимание позиции нужно, чтобы правильно читать числа и переводить их в другие системы.

Как это устроено

В непозиционной системе значение символа обычно не меняется из-за его места, а в позиционной одна и та же цифра может обозначать разные величины в разных разрядах. Это происходит потому, что позиционная запись связывает каждое место с отдельным весом. Поэтому число состоит не просто из цифр, а из цифр, поставленных на определённые места.

Разрядные веса позиционной записи получаются умножением на основание при переходе к следующему разряду. Если двигаться справа налево, веса равны степеням основания, начиная с нулевой: q⁰, q¹, q² и далее. Так устроена запись, потому что каждый следующий разряд должен представлять в q раз большее количество единиц, чем предыдущий.

Любое число в позиционной системе можно представить как сумму цифр, умноженных на соответствующие степени основания. Например, десятичное число 347 означает 3·10² + 4·10¹ + 7·10⁰. Такая запись показывает, откуда берётся значение числа, и позволяет перевести его в десятичную систему: достаточно вычислить сумму.

Чтобы перевести целое десятичное число в систему с другим основанием, его последовательно делят на это основание. Остаток первого деления становится цифрой младшего разряда, а следующие остатки — всё более старших. Поэтому итоговую запись составляют, читая остатки в обратном порядке; если число меньше основания, оно записывается одним остатком.

Компьютеры широко используют двоичную систему, потому что информацию удобно представлять двумя состояниями: например, сигнал есть или его нет. Но длинные последовательности нулей и единиц трудно читать, поэтому применяют восьмеричную и шестнадцатеричную записи. Они компактнее, а соответствие двоичных разрядов группам цифр помогает переходить между такими записями.

Основные позиционные системы счисления

Сначала смотрите на основание: оно подсказывает допустимые цифры и последовательность весов. Затем, если нужно найти значение числа, умножайте каждую цифру на вес её разряда и складывайте результаты. Буквы A–F в шестнадцатеричной системе обозначают значения от 10 до 15.

Разбор задач

Перевести число 1011₂ в десятичную систему

В условии дано двоичное число, поэтому для его перевода нужно заменить каждый разряд соответствующей степенью основания 2. Цифры читаем справа налево: 1, 1, 0, 1 занимают разряды с весами 2⁰, 2¹, 2², 2³. Складываем только значения ненулевых разрядов.

1. Записываем число как сумму разрядных слагаемых: 1·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 1·2⁰.
2. Вычисляем: 8 + 0 + 2 + 1 = 11.

Ответ: 1011₂ = 11₁₀. Проверка помогает увидеть, что единицы стоят в разрядах 8, 2 и 1, а нулевой разряд не добавляет значения.

Перевести число 45₁₀ в двоичную систему

В условии дано целое десятичное число, а получить нужно запись с основанием 2. Деление на 2 удобно тем, что остаток всегда равен 0 или 1 — то есть допустимой двоичной цифре. Остатки записываются от младшего разряда к старшему, поэтому их порядок затем нужно развернуть.

1. Делим 45 на 2: частное 22, остаток 1.
2. Делим 22 на 2: частное 11, остаток 0; затем 11 на 2: частное 5, остаток 1.
3. Продолжаем: 5 на 2 даёт частное 2 и остаток 1; 2 на 2 — частное 1 и остаток 0; 1 на 2 — частное 0 и остаток 1.
4. Читаем остатки снизу вверх: 101101.

Ответ: 45₁₀ = 101101₂. Проверим: 1·2⁵ + 0·2⁴ + 1·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰ = 32 + 8 + 4 + 1 = 45.

Перевести число 7B₁₆ в десятичную систему

В шестнадцатеричной записи B обозначает цифру со значением 11, а основание равно 16. У числа 7B две позиции: B стоит в разряде единиц, а 7 — в следующем разряде с весом 16. Значит, для перевода нужно умножить каждую цифру на вес её позиции и сложить результаты.

1. Заменяем букву её числовым значением: B = 11.
2. Раскрываем запись: 7B₁₆ = 7·16¹ + 11·16⁰.
3. Вычисляем: 7·16 + 11·1 = 112 + 11 = 123.

Ответ: 7B₁₆ = 123₁₀. Для проверки убедитесь, что 7 и B допустимы в системе с основанием 16, а разрядные веса выбраны справа налево.

Типичные ошибки

• Используют цифру, недопустимую для основания, например 2 в двоичной системе. Так ошибаются, если переносят привычный набор цифр из десятичной записи и не проверяют основание. Для самопроверки сравните каждую цифру с диапазоном от 0 до q − 1.

• При переводе позиционного числа в десятичное складывают цифры, забывая умножить их на веса разрядов. Обычно это происходит, когда запись воспринимают как набор символов, а не как сумму разрядов. Проверьте себя, подписав под каждой цифрой соответствующую степень основания.

• При переводе делением читают остатки сверху вниз, хотя их нужно записывать в обратном порядке. Первый остаток относится к единицам нового основания, поэтому он должен оказаться справа. Проверьте результат обратным переводом: разложите полученную запись по разрядным весам.

• Путают основание системы с количеством разрядов в записи числа. Основание — это число допустимых цифр, а количество разрядов определяется длиной конкретной записи и может меняться. Чтобы не ошибиться, отдельно укажите основание, а затем посчитайте цифры в самом числе.

Связь с другими темами

Для работы с системами счисления пригодятся действия с натуральными числами, степенями и остатками от деления. Эти навыки нужны, чтобы находить разрядные веса и выполнять перевод делением. Если вычисления с остатками пока вызывают трудности, полезно повторить деление с остатком.

Позиционные системы помогают понять двоичное представление данных и принципы кодирования информации в компьютере. Они объясняют, почему текст, числа и другие данные могут храниться как последовательности двоичных цифр. Это создаёт основу для изучения устройства компьютера и кодирования.

Перевод между системами счисления понадобится при изучении алгоритмов и способов представления чисел в памяти компьютера. Умение переводить запись позволяет проверять вычисления и понимать, как одно и то же значение выглядит в разных системах. Такие навыки особенно полезны при работе с двоичной и шестнадцатеричной записями.

Что запомнить

• Основание позиционной системы равно числу используемых в ней цифр.
• В системе с основанием q допустимы цифры от 0 до q − 1.
• Вес каждого следующего разряда слева в q раз больше веса предыдущего.
• Запись числа в позиционной системе равна сумме цифр, умноженных на веса их разрядов.
• При переводе целого числа делением на новое основание остатки читают снизу вверх.
• Двоичная система имеет основание 2, шестнадцатеричная — 16.