Системы счисления

Определения и обозначения

Система счисления — правила записи чисел с помощью определённых знаков. Это похоже на договор: он объясняет, какие символы можно использовать и как их понимать. Зная правила, можно прочитать запись и узнать, какое число она обозначает. Разные системы нужны для разных способов представления чисел.

Алфавит системы счисления — набор знаков, которыми записывают числа. Например, в десятичной системе алфавит состоит из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Перечисление алфавита помогает проверить, допустима ли цифра в записи. Без этого правила легко случайно записать число неподходящим знаком.

Основание системы счисления — количество знаков в алфавите позиционной системы. Оно показывает, сколько разных цифр доступно для записи и как устроены разряды. Например, основание двоичной системы равно двум, потому что в ней есть только две цифры. Знание основания нужно, чтобы правильно читать запись и переводить числа.

Позиционная система счисления — система, в которой значение цифры зависит от её места в записи числа. Цифра в каждом разряде показывает, сколько раз взять значение этого разряда. Поэтому одна и та же цифра может обозначать разные количества в разных местах. Это определение помогает понять, почему разряды нельзя игнорировать.

Как это устроено

Числа записывают знаками, выбранными для конкретной системы счисления. Один и тот же знак может иметь разное значение в разных системах, потому что правила чтения записи задаёт сама система. Например, запись 10 в десятичной системе означает десять, а в двоичной — два. Поэтому по одним символам нельзя определить число: нужно знать систему, в которой они записаны.

В десятичной системе десять цифр — от 0 до 9, а значение цифры зависит от её позиции. Это связано с тем, что при переходе к следующему разряду количество увеличивается в десять раз: единицы сменяются десятками, десятки — сотнями. Например, в числе 55 первая справа пятёрка означает пять единиц, а вторая — пять десятков. Запись использует одинаковую цифру, но её место сообщает, какое количество она обозначает.

Основание позиционной системы определяет, сколько в ней цифр и во сколько раз меняется значение разряда при переходе влево. Причина в том, что каждый следующий разряд объединяет столько предыдущих разрядов, сколько показывает основание. В десятичной системе десяток равен десяти единицам, а сотня — десяти десяткам. Поэтому для чтения числа важно знать основание: оно объясняет вес каждого разряда.

В двоичной системе основание равно двум, поэтому для записи чисел используют только цифры 0 и 1. Здесь каждый разряд вдвое больше предыдущего: справа налево идут значения 1, 2, 4, 8 и дальше. Запись числа сообщает, какие из этих значений нужно сложить: цифра 1 включает значение разряда, а 0 показывает, что его не берут. Такой способ записи подходит компьютеру, потому что его устройства могут различать два состояния.

В непозиционных системах, например римской, значение знака обычно не определяется его местом так, как в позиционной системе. Римские числа составляют из знаков, у которых есть собственные значения, например I означает один, а V — пять. При записи нескольких знаков действуют отдельные правила сложения и вычитания, но разряды со степенями основания не используются. Поэтому римскую запись нельзя читать так же, как десятичную или двоичную.

Сравнение систем счисления

Сначала посмотрите на строку «Тип системы», чтобы понять, нужно ли учитывать разряды. Затем сравните используемые знаки и основание: так можно проверить, допустима ли запись. Примеры в последней строке обозначают одно и то же число, записанное по разным правилам.

Разбор задач

Задача 1. Запишите число 7 в двоичной системе счисления. В двоичной записи каждый разряд справа налево имеет значение 1, 2, 4, 8 и так далее. Нужно выбрать разряды, сумма которых даст 7. Удобно начать с самого большого подходящего значения и затем проверить остаток.

1. Берём разряд со значением 4: число 7 можно представить как 4 + 3.
2. Для остатка 3 нужны разряды 2 и 1, то есть 3 = 2 + 1.
3. В разрядах 4, 2 и 1 стоят единицы, поэтому получаем 111₂.

Ответ: 7₁₀ = 111₂. Проверка: 1·4 + 1·2 + 1·1 = 7. Проверка полезна, потому что она подтверждает, что сумма выбранных разрядов действительно равна исходному числу.

Задача 2. Переведите число 1011₂ в десятичную систему. Здесь нижний индекс 2 указывает основание записи. Справа налево разряды имеют значения 2⁰, 2¹, 2² и 2³, то есть 1, 2, 4 и 8. Умножим каждую цифру на значение её разряда: ноль разряда не добавит к сумме ничего.

1. Подпишем значения разрядов справа налево: 1, 2, 4, 8.
2. Умножим цифры на значения: 1·8, 0·4, 1·2, 1·1.
3. Сложим результаты: 8 + 0 + 2 + 1 = 11.

Ответ: 1011₂ = 11₁₀. Нулевая цифра означает, что разряд со значением 4 в сумме не участвует. Для проверки можно сложить только разряды, в которых записана единица: получается 8 + 2 + 1 = 11.

Задача 3. Сравните записи 101₂ и 11₂: какое число больше и на сколько? Можно сразу заметить, что у первой записи есть разряд со значением 4, которого нет во второй. Чтобы точно определить разницу, переведём обе записи в десятичную систему. Такой способ удобен, когда записи короткие и нужно не только сравнить, но и найти разность.

1. Вычислим значение 101₂: 1·4 + 0·2 + 1·1 = 5.
2. Вычислим значение 11₂: 1·2 + 1·1 = 3.
3. Сравним результаты: 5 больше 3, а разность равна 5 − 3 = 2.

Ответ: 101₂ больше 11₂ на 2. Проверка разности: 2 в двоичной системе записывается как 10₂. Значит, результат сравнения можно записать и так: 101₂ − 11₂ = 10₂.

Типичные ошибки

Ошибка: считать основанием наибольшую цифру. Так думают, потому что основание и наибольшая цифра связаны между собой. Но в алфавите системы на одну цифру больше, чем значение наибольшей: после 9 в десятичном наборе основание равно 10. Проверка простая: посчитайте все цифры алфавита и сравните их количество с основанием.

Ошибка: использовать в двоичной записи цифры 2–9. Такое случается, если перенести привычку записывать числа десятью цифрами в другую систему. Но основание 2 означает, что допустимы только 0 и 1. Проверьте каждый знак записи: если встретилась цифра больше 1, это не правильная двоичная запись.

Ошибка: читать позиционную запись как последовательность цифр. Например, можно принять 101₂ за три отдельных знака, не учитывая их значения. Это происходит, когда забывают, что место цифры задаёт разряд. Чтобы проверить себя, подпишите над цифрами значения разрядов справа налево и сложите те, где стоят единицы.

Ошибка: начинать нумерацию разрядов с единицы. Привычка считать с единицы сбивает при переводе в десятичную систему, потому что степени основания начинаются справа с нулевой степени. Поэтому самый правый разряд имеет значение 2⁰ = 1, следующий — 2¹ = 2. Проверьте расчёт по этой последовательности: 1, 2, 4, 8.

Связь с другими темами

Перед изучением систем счисления полезно уметь записывать натуральные числа и различать цифру и разряд. Натуральные числа помогают описывать результат счёта, а цифры служат знаками для их записи. Разряд показывает место цифры и помогает определить её значение в позиционной записи.

Двоичная система используется для представления данных и чисел в компьютере. Это связано с тем, что электронным устройствам удобно различать два состояния, которые можно обозначить 0 и 1. Поэтому умение читать двоичные записи объясняет один из способов хранения и обработки информации.

Понимание позиционной записи пригодится при изучении алгоритмов перевода чисел между системами счисления. Такие алгоритмы опираются на значения разрядов и основание системы. Если правильно находить эти значения, можно последовательно переводить запись и проверять результат.

Что запомнить

• Система счисления задаёт правила записи чисел.
• Алфавит системы счисления — это набор используемых знаков.
• В позиционной системе значение цифры зависит от её места.
• Основание позиционной системы равно количеству цифр в её алфавите.
• В десятичной системе основание равно 10.
• В двоичной системе основание равно 2, а её цифры — 0 и 1.