Таблица для мешка (по двум признакам)

Определения и обозначения

Мешок — набор объектов, в котором могут повторяться одинаковые элементы. В множестве одинаковый элемент считают одним элементом, а в мешке важна каждая отдельная встреча. Поэтому при подсчёте красный круг, записанный дважды, увеличивает общее число объектов на два.

Признак объекта — свойство, по которому объекты мешка разделяют на группы, например цвет или форма. Один и тот же мешок можно изучать по разным признакам. Выбор признаков нужен, чтобы правильно задать строки и столбцы таблицы.

Значение признака — конкретный вариант свойства объекта, например «красный» или «круглый». Значениями признака «цвет» будут красный, синий и зелёный, а значениями признака «форма» — круг, квадрат и треугольник. Именно эти варианты записывают в заголовках строк или столбцов.

Таблица для мешка по двум признакам — способ подсчёта объектов, при котором строки соответствуют значениям одного признака, столбцы — значениям другого, а в клетках записываются количества объектов. Она показывает не отдельные названия фигур, а число объектов для каждого сочетания признаков. Так удобнее находить частичные и общие итоги.

Как это устроено

Сначала выбирают два признака, по которым нужно изучить мешок, например цвет и форму. Затем выписывают все значения каждого признака, которые могут встретиться в заданном мешке. Это нужно сделать заранее, чтобы не пропустить отдельную группу и чтобы каждая фигура получила подходящее место в таблице.

Один признак удобно расположить в строках, а другой — в столбцах, потому что так образуется понятная сетка пересечений. Например, строка может отвечать на вопрос «какая форма?», а столбец — «какой цвет?». Переставить признаки можно, но после этого нужно одинаково читать все клетки и заголовки.

Клетка находится на пересечении конкретной строки и конкретного столбца. Поэтому в неё записывают число объектов, у которых одновременно есть значение признака строки и значение признака столбца. Клетка «круг — красный» не означает отдельно все круги или отдельно все красные фигуры, а учитывает только красные круги.

При заполнении рассматривают каждый объект мешка и определяют оба его значения. Затем увеличивают число в соответствующей клетке на единицу. Повторяющиеся объекты нельзя объединять: если одинаковая фигура встречается несколько раз, каждое вхождение учитывается столько раз, сколько оно записано в мешке.

Проверить результат помогают суммы. Сумма клеток строки показывает число объектов с одним значением первого признака, сумма столбца — число объектов с одним значением второго признака, а сумма всех клеток должна равняться размеру мешка. Если итоги не совпали, значит, объект пропущен, посчитан дважды или помещён не на то пересечение.

Таблица для мешка по двум признакам: цвету и форме

Чтобы прочитать таблицу, сначала выбирают строку и столбец, а затем находят их пересечение. Например, число 2 в строке «Круг» и столбце «Красный» означает, что в мешке два красных круга. Итоги справа и внизу позволяют узнать количество объектов по одному признаку и общее количество фигур.

Разбор задач

Задача 1

Условие: Для мешка фигур перечислены: красный круг, синий квадрат, красный круг, зелёный треугольник. Составьте таблицу по признакам «цвет» и «форма».

1. Выбираем строки по форме: круг, квадрат, треугольник. Столбцы задаём по цвету: красный, синий, зелёный.
2. Первый красный круг отправляем в клетку «круг — красный», затем второй такой же круг увеличивает эту клетку ещё на единицу.
3. Синий квадрат заносим в клетку «квадрат — синий», а зелёный треугольник — в клетку «треугольник — зелёный».
4. Заполняем нулями остальные клетки и считаем итоги: всего четыре объекта, красных — два, синих — один, зелёных — один.

Ответ: таблица имеет строки «Круг», «Квадрат», «Треугольник» и столбцы «Красный», «Синий», «Зелёный»; ненулевые клетки равны 2, 1 и 1, а общий итог равен 4.

Задача 2

Условие: В готовой таблице игрушек в столбце «Синий» стоят числа 2, 1 и 3, а в строке «Квадрат» — числа 1, 2 и 1. Найдите число синих предметов, квадратных предметов и общее число игрушек, если остальные строки дают 4 и 5 предметов.

1. Складываем числа синего столбца: 2 + 1 + 3 = 6. Значит, синих предметов шесть.
2. Складываем числа строки «Квадрат»: 1 + 2 + 1 = 4. Значит, квадратных предметов четыре.
3. Для общего итога складываем итоги строк: 4 + 4 + 5 = 13. Столько игрушек в мешке.

Ответ: синих предметов — 6, квадратных — 4, всего игрушек — 13. Повторный подсчёт по столбцам должен также дать 13.

Задача 3

Условие: В таблице по цвету и размеру итоги строк равны 5, 4 и 3, а итоги столбцов — 6, 3 и 3. В первой строке известны числа 2 и 1, во второй — числа 3 и 0, в третьей — число 1 в первом столбце. Восстановите пропуски.

1. В первой строке третья клетка равна 5 − 2 − 1 = 2. Во второй строке третья клетка равна 4 − 3 − 0 = 1.
2. В третьей строке во втором столбце получаем 3 − 2 − 0 = 1, если используем итог второго столбца и известные значения этого столбца.
3. Последняя клетка третьей строки равна 3 − 1 − 1 = 1. Проверяем строки: 2 + 1 + 2 = 5, 3 + 0 + 1 = 4, 1 + 1 + 1 = 3.

Ответ: пропущенные числа равны 2, 1, 1 и 1. Сумма строк и сумма столбцов дают один и тот же общий итог 12.

Типичные ошибки

В клетку иногда записывают название объекта вместо количества. Так происходит, когда описание фигуры путают с результатом подсчёта. Проверьте себя: в обычной клетке должно стоять число, а названия находятся только в заголовках.

Одинаковые элементы могут посчитать только один раз, потому что внешне они не отличаются. Но мешок допускает повторы, поэтому нужно учитывать каждую запись объекта. Проверка проста: пересчитайте все вхождения в исходном списке.

Иногда значения строк и столбцов меняют местами и читают таблицу по старым заголовкам. Из-за этого число относят не к тому сочетанию признаков. Всегда сначала называйте строку, затем столбец и только после этого читайте клетку.

Ещё одна ошибка — учитывать только один признак, например помещать все красные фигуры в одну клетку. Клетка определяется пересечением двух значений, поэтому для каждого объекта нужно установить и цвет, и форму. Если один признак неизвестен, место объекта выбрано неверно.

Связь с другими темами

До этой темы нужно уметь находить признаки объектов, перечислять значения признаков и считать элементы мешка. Эти умения помогают не пропустить группу и правильно заполнить клетку.

Таблицы по двум признакам применяют при обработке наблюдений, анкет и экспериментов. Например, можно распределить ответы одновременно по возрасту и выбору или результаты по цвету и размеру.

Дальше такие таблицы связаны с алгоритмами подсчёта, поиском объектов по условию и представлением данных. Они учат превращать список объектов в удобную структуру для анализа.

Что запомнить

• Мешок допускает повторение одинаковых объектов.
• Для таблицы выбирают два признака.
• Строки и столбцы соответствуют значениям разных признаков.
• Клетка показывает число объектов с двумя указанными значениями одновременно.
• Каждый объект учитывают ровно столько раз, сколько он встречается в мешке.
• Сумма всех клеток равна числу объектов в мешке.
• Суммы по строкам и столбцам помогают проверить правильность таблицы.