Круги Эйлера

Определения и обозначения

Множество — это группа объектов, объединённых общим признаком. Например, множество чётных чисел состоит из чисел, которые делятся на 2 без остатка. Признак помогает проверить каждый объект: если он подходит, объект принадлежит множеству, если нет — не принадлежит. Так мы точно решаем, какие предметы или числа нужно включить в группу.

Круг Эйлера — замкнутая линия, которой на схеме изображают множество. Внутри круга записывают его элементы или мысленно представляют их там. Например, круг «домашние животные» включает тех животных, которые подходят под этот признак. Такое изображение помогает увидеть состав группы и сравнить её с другими множествами.

Пересечение множеств — это элементы, которые одновременно принадлежат обоим множествам. На схеме пересечение изображают общей частью кругов. Если круги показывают тех, кто любит шахматы и тех, кто любит шашки, то в их общей части будут ученики, которым нравятся обе игры. Эта область нужна, чтобы отдельно учитывать общие для двух групп объекты.

Объединение множеств — все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств. На схеме это вся область внутри обоих кругов, включая их общую часть. Например, в объединение любителей шахмат и шашек входят и те, кто любит только шахматы, и те, кто любит только шашки, и те, кому нравятся обе игры. Объединение помогает посчитать всех, кто подходит хотя бы под одно из условий.

Как это устроено

Чтобы составить множество по условию задачи, сначала найди общий признак. Затем проверь каждый объект по очереди: подходит ли он под этот признак. Например, если нужно выделить числа меньше 10, число 7 включаем, а число 12 — нет. Такой порядок не даёт случайно добавить объект только потому, что он кажется похожим на остальные.

Положение кругов показывает, как множества связаны друг с другом. Если у двух групп нет общих элементов, круги рисуют отдельно: ни один объект не может попасть сразу в обе группы. Если общие элементы есть, круги пересекаются, и эти объекты располагают в общей области. Поэтому рисунок позволяет увидеть отношение между группами, даже не перечитывая все их элементы.

Чтобы заполнить пересечение, ищи объекты, которые подходят сразу под оба признака. Например, при сравнении множества учеников, любящих шахматы, и множества любящих шашки, проверь каждого ученика по обоим условиям. Тех, кто любит обе игры, запиши в общую часть кругов. Остальные элементы останутся в той части круга, которая не пересекается с другим кругом.

Если каждый элемент одного множества входит и в другое, меньшее множество изображают кругом внутри большего. Так бывает, например, с множеством квадратов и множеством прямоугольников: каждый квадрат является прямоугольником, но не каждый прямоугольник — квадрат. Поэтому круг квадратов помещают внутрь круга прямоугольников. Такое расположение показывает, что ни один квадрат не окажется за пределами множества прямоугольников.

Для решения задачи сначала изобрази нужные круги, а затем распредели объекты по областям: только в первом множестве, только во втором, в обоих или ни в одном. Общие элементы нужно разместить в пересечении, а не в одной из отдельных частей кругов. После распределения проверь, что каждый объект учтён ровно один раз и соответствует признаку своей области. Такой способ особенно удобен, когда в условии есть несколько групп и нужно найти их общее количество.

Как читать круги Эйлера

Сначала сравни форму и положение кругов, а затем прочитай, что именно они показывают. Для подсчёта смотри на каждую область отдельно: общую часть не смешивай с отдельными частями кругов. Если рисунок заполнен числами или названиями, проверь, что каждый элемент соответствует признакам своей области.

Разбор задач

Задача 1. Даны множества чётных и нечётных чисел. Нужно изобразить их кругами Эйлера и выяснить, есть ли общие элементы. Чётное число делится на 2 без остатка, а нечётное при делении на 2 даёт остаток 1. Эти признаки не могут одновременно подходить одному целому числу.

1. Обозначим один круг «чётные числа», другой — «нечётные числа».
2. Проверим, может ли целое число быть одновременно чётным и нечётным. По определениям это невозможно.
3. Нарисуем круги отдельно, без пересечения: в общей части не должно быть ни одного числа.

Ответ: общих элементов нет, круги не пересекаются. Такая схема подходит для целых чисел, разделённых на чётные и нечётные.

Задача 2. В классе 12 учеников любят шахматы, 9 — шашки, а 4 ученика любят обе игры. Нужно узнать, сколько учеников записать в пересечение и сколько — только в каждую отдельную область. Число 4 уже показывает, сколько ребят принадлежит сразу двум множествам. При подсчёте отдельных частей этих ребят нужно убрать из общего числа каждой группы.

1. В общую часть кругов запишем 4: столько учеников любят и шахматы, и шашки.
2. Только шахматы любят 12 − 4 = 8 учеников.
3. Только шашки любят 9 − 4 = 5 учеников.

Ответ: в пересечении — 4 ученика, только в части шахмат — 8, только в части шашек — 5.

Задача 3. В группе 20 ребят: 11 занимаются футболом, 8 — плаванием, 3 не занимаются ни тем ни другим. Найдём, сколько ребят занимаются обоими видами спорта. Важно учесть всех: те, кто не попал ни в один круг, тоже входят в общее количество 20. Поэтому сначала определим, сколько ребят находится внутри кругов.

1. Вычтем из общего числа тех, кто не занимается ни одним видом спорта: 20 − 3 = 17.
2. Сложим числа футболистов и пловцов: 11 + 8 = 19. При таком сложении тех, кто занимается обоими видами спорта, посчитали дважды.
3. Сравним сумму 19 с числом ребят внутри кругов — 17. Разница 19 − 17 = 2 и есть число посчитанных дважды, то есть число ребят в пересечении.

Ответ: 2 ребят занимаются и футболом, и плаванием. Проверка: только футболом занимаются 11 − 2 = 9, только плаванием — 8 − 2 = 6; вместе с двумя в пересечении получаем 17 человек в кругах.

Типичные ошибки

Общий элемент иногда записывают в оба непересекающихся круга. Так теряется главное: объект принадлежит сразу двум множествам, а отдельные части означают принадлежность только одному. Ошибку допускают, когда забывают выделить пересечение. Проверь себя: если объект подходит под оба признака, он должен лежать в общей области кругов.

При подсчёте общего количества можно прибавить число элементов пересечения дважды. Это происходит, если просто сложить размеры двух множеств, не заметив, что общие элементы уже входят в оба числа. Найди отдельные области и пересечение, а затем сложи их размеры, учитывая пересечение один раз. Проверка проста: сумма чисел по всем областям должна совпасть с общим количеством объектов.

Нельзя помещать объект в круг только из-за того, что он находится рядом с похожими объектами. Важно проверить, выполняется ли для него признак множества; иначе схема будет неверной. Такая ошибка возникает, когда распределяют предметы на глаз, не читая условие. Перепроверь каждый элемент вопросом: «Подходит ли он под признак этого круга?»

Пересечение иногда путают с объединением. Пересечение включает только тех, кто принадлежит обоим множествам, а объединение — всех, кто принадлежит хотя бы одному. Путаница появляется из-за того, что и там и там используются два круга. Чтобы проверить себя, уточни условие: слова «и то и другое» относятся к пересечению, а «то или другое» — к объединению.

Связь с другими темами

Для работы с кругами Эйлера нужно уметь выделять предметы по общему признаку, считать их и понимать слова «все», «некоторые», «ни один». Эти умения помогают верно определить, какие объекты попадут в каждую область схемы. Если условие задачи описывает несколько групп, круги делают отношения между ними наглядными. Поэтому схема пригодится в логических задачах, задачах на подсчёт и задачах с несколькими условиями.

Что запомнить

• Кругом Эйлера изображают множество.
• Общий участок кругов показывает пересечение множеств.
• В объединение входят элементы хотя бы одного из множеств.
• Если множества не имеют общих элементов, их круги не пересекаются.
• Если каждый элемент одного множества входит в другое, меньший круг помещают внутри большего.
• При подсчёте общие элементы нельзя учитывать дважды.