Что надо знать о треугольнике

Определения и обозначения

Треугольник — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Отрезки должны замкнуть фигуру: каждый следующий соединяет точки так, чтобы получилась граница без разрывов. Если все три точки лежат на одной прямой, замкнутой фигуры не получится. Это определение помогает отличить треугольник от незамкнутой ломаной.

Вершины треугольника — точки, в которых соединяются его стороны; их обозначают заглавными буквами, например A, B и C. Каждая вершина служит концом двух сторон и местом, где встречаются два угла фигуры. По буквам вершин удобно называть и записывать треугольник. Если вершины обозначены A, B, C, его называют треугольником ABC.

Стороны треугольника — отрезки, соединяющие его вершины. У треугольника ABC это отрезки AB, BC и CA: название каждой стороны составлено из букв её концов. Саму фигуру обозначают по вершинам, а не только по отрезкам. Такое правило помогает не перепутать название всего треугольника с названием одной его стороны.

Углы треугольника — углы, образованные его сторонами у каждой вершины; их обозначают буквами вершин. Например, угол при вершине A образован сторонами AB и AC, поэтому его можно назвать углом A. У каждого треугольника ровно три вершины, три стороны и три угла: между каждой парой соседних вершин есть сторона, а у каждой вершины встречаются две стороны. Буквы связывают эти элементы и позволяют точно описывать фигуру.

Как это устроено

Чтобы получить треугольник, отметь три точки, не лежащие на одной прямой, и соедини каждую точку с двумя другими отрезками. Тогда отрезки замкнутся в фигуру: из любой вершины можно пройти по границе и вернуться к ней. Если точки расположены на одной прямой, отрезки не образуют замкнутую область с тремя углами. Поэтому условие о расположении точек необходимо, а не случайно включено в определение.

В треугольнике ровно три вершины, потому что он построен по трём точкам. Между ними проходят ровно три стороны: одна соединяет первую и вторую точки, другая — вторую и третью, третья замыкает границу. У каждой вершины сходятся две стороны, значит, именно там образуется угол. Так названия элементов связаны между собой: вершины задают стороны, а стороны образуют углы.

Чтобы правильно назвать фигуру по чертежу, сначала найди точки-вершины и прочитай их буквы. Затем перечисли вершины в порядке обхода границы: например, ABC; если начать с другой вершины, можно назвать тот же треугольник BCA. Стороны перечисляй по концам — AB, BC, CA, а углы называй по вершинам — A, B, C. Такой порядок не позволяет принять обозначение отрезка за название всей фигуры.

Треугольники различают по длинам сторон. Если равны все три стороны, треугольник равносторонний; если равны две — равнобедренный; если длины всех сторон различны — разносторонний. Признаки зависят от того, сколько сторон одинаковой длины, поэтому одной похожей формы на рисунке недостаточно. Сравнивают измеренные длины или используют сведения из условия.

Есть и деление по величине углов. В остроугольном треугольнике все углы острые, в прямоугольном один угол прямой, а в тупоугольном один угол тупой. Эти виды определяют по углам, а не по длинам сторон. Поэтому один треугольник можно описать по двум признакам сразу: например, он может быть и равнобедренным, и прямоугольным.

Виды треугольников и их признаки

В таблице собраны два способа различать треугольники: по сторонам и по углам. Сначала выясни, какие стороны равны, а затем проверь величины углов. Сверяйся с признаками, даже если рисунок кажется очевидным.

Разбор задач

Задача 1. На чертеже отмечены вершины A, B и C. Нужно назвать треугольник, его вершины, стороны и углы. Сначала отделим название всей фигуры от обозначений её частей, чтобы не назвать треугольник одним из его отрезков.

1. Прочитаем буквы у трёх точек: это A, B и C.
2. Обойдём фигуру по границе и запишем название по вершинам: треугольник ABC.
3. Назовём стороны по концам отрезков: AB, BC и CA.
4. Углы находятся у вершин, поэтому это углы A, B и C.

Ответ: треугольник ABC; вершины A, B, C; стороны AB, BC, CA; углы A, B, C. По такой последовательности легко проверить, что ни одна часть фигуры не пропущена.

Задача 2. У треугольника две стороны равны, а один угол прямой. Определим его виды по сторонам и по углам. Эти признаки относятся к разным свойствам, поэтому проверим их отдельно.

1. Сначала сравним длины: равны две стороны, значит, по сторонам треугольник равнобедренный.
2. Затем посмотрим на углы: один из них прямой, значит, по углам треугольник прямоугольный.
3. Запишем оба названия вместе, потому что они не противоречат друг другу.

Ответ: треугольник равнобедренный и прямоугольный. Нельзя выбрать только одно название: каждое описывает отдельный признак фигуры.

Задача 3. Нужно начертить равносторонний треугольник и равнобедренный прямоугольный треугольник, подписав элементы. Для каждого чертежа сначала выберем признак, который проще всего проверить, а затем проверим остальные условия.

1. Для равностороннего треугольника начертим три стороны одинаковой длины и обозначим вершины A, B, C.
2. Подпишем стороны AB, BC, CA и углы A, B, C; проверим, что равны все три стороны.
3. Для второго чертежа построим прямой угол и отложим от его вершины два равных отрезка по сторонам угла.
4. Соединим свободные концы отрезков, подпишем вершины и соответствующие стороны и углы.

Ответ: первый чертёж имеет три равные стороны, второй — прямой угол и две равные стороны. Проверка обеих особенностей подтверждает, что условия выполнены.

Типичные ошибки

Иногда треугольник называют по сторонам, например «AB», потому что обозначения фигуры и отрезка кажутся похожими. Но AB — только одна сторона, а треугольник называют по трём вершинам: ABC. Проверь себя: в названии фигуры должны быть указаны все три вершины.

Угол иногда принимают за отдельную линию или сторону, потому что на рисунке стороны выглядят как линии. На самом деле угол образуется двумя сторонами у общей вершины. Проверь себя: найди точку, где стороны встречаются, и только потом назови угол этой буквой.

Равнобедренный треугольник путают с равносторонним, если замечают пару равных сторон и не проверяют третью. У равностороннего равны все три стороны, а у равнобедренного достаточно равенства двух. Чтобы проверить название, сравни каждую сторону, а не только две из них.

Вид треугольника определяют только по внешнему виду неточного рисунка, поэтому можно ошибиться с длинами или углом. Рисунок может быть схематичным и не сохранять точные размеры. Измерь стороны, проверь угол угольником или транспортиром и учти данные условия задачи.

Связь с другими темами

Для работы с треугольниками нужны знания о точке, отрезке, прямой и угле, а также умение сравнивать длины и величины углов. Дальше эти знания пригодятся при изучении периметра и площади, измерении углов и построении геометрических фигур. В ручном труде треугольная форма встречается в деталях, чертежах и разметке. Умение распознать её помогает точнее читать схему и выполнять построение.

Что запомнить

• Треугольник имеет три стороны, три вершины и три угла.
• Треугольник обозначают заглавными буквами его вершин.
• По сторонам треугольники бывают равносторонними, равнобедренными и разносторонними.
• По углам треугольники бывают остроугольными, прямоугольными и тупоугольными.
• В равностороннем треугольнике равны все стороны.
• В прямоугольном треугольнике один угол прямой.
• Вид треугольника определяют по его сторонам и углам, а не только по форме рисунка.