Нумерация

Определения и обозначения

Число — обозначение количества или результата счёта. Оно помогает сообщить, сколько предметов мы насчитали, или назвать результат вычисления; например, числом можно описать количество карандашей в коробке.

Цифра — один из десяти знаков, которыми записывают числа в десятичной системе: от 0 до 9. Цифра похожа на букву, а число — на слово: для записи числа может понадобиться одна или несколько цифр.

Разряд — место цифры в записи числа, которое определяет её значение. Положение важно, потому что цифра 3 в разных разрядах может обозначать три единицы, три десятка или три сотни.

Разрядная единица — число, соответствующее единице данного разряда: единица, десяток, сотня и далее. Знание разрядных единиц позволяет понять, из каких частей составлено многозначное число, и записывать его разрядными слагаемыми.

Как это устроено

Счёт начинается с сопоставления предметов и чисел: каждому предмету называют очередное число, не пропуская и не считая повторно. Поэтому последовательность чисел помогает одновременно определить количество и порядок предметов. Если при пересчёте последним оказалось число 8, значит, предметов восемь.

В десятичной нумерации выбраны десять цифр, потому что из них можно составить запись любого числа, а единицы удобно объединять группами по десять. Когда набирается десять единиц, их заменяют одним десятком; десять десятков заменяют одной сотней. Такая группировка позволяет записывать большие количества короче и упорядоченно.

Место цифры задаёт, сколько разрядных единиц она обозначает. Например, 4 в записи 4 означает четыре единицы, а в 40 — четыре десятка; сама цифра не изменилась, но её позиция стала другой. Поэтому многозначное число нельзя правильно прочитать, если смотреть только на отдельные цифры и не учитывать разряды.

Чтобы прочитать или записать многозначное число, определяют количество единиц в каждом разряде: сначала тысячи, затем сотни, десятки и единицы. При чтении разряды с нулём не называют как количество, но ноль оставляют в записи, чтобы соседние цифры сохранили свои места. Например, в числе 506 пять сотен, ноль десятков и шесть единиц.

Сравнивать числа удобнее, двигаясь от наибольших разрядов к наименьшим. Число с большим количеством разрядов содержит более крупную разрядную единицу, поэтому оно больше. Если разрядов поровну, сравнивают цифры слева направо: первое различие показывает, у какого числа больше единиц соответствующего разряда.

Разряды и значение цифры в записи числа

В каждом примере цифра 4 стоит в указанном разряде, поэтому её значение равно числу разрядных единиц, умноженному на 4. Например, в разряде сотен это четыре сотни, то есть 400. Пользуйся таблицей, чтобы определить разряд цифры и понять, какую часть числа она обозначает.

Разбор задач

Задача 1. Записать цифрами число, в котором 3 десятка и 5 единиц, и прочитать получившуюся запись. Сначала определим, сколько цифр нужно: десятки записываются левее единиц. Затем поставим цифру, обозначающую количество единиц каждого разряда.

1. В разряде десятков записываем 3, потому что в числе три десятка.
2. Справа, в разряде единиц, записываем 5.
3. Получаем 35; читаем запись: «тридцать пять».

Ответ: 35, тридцать пять. Десятки и единицы заняли свои места, поэтому запись передаёт оба количества.

Задача 2. Разложить число 407 на разрядные слагаемые и объяснить роль нуля. Разрядные слагаемые показывают, сколько единиц каждого разряда входит в число. Проверим по очереди сотни, десятки и единицы.

1. Цифра 4 стоит в разряде сотен, поэтому её значение — 400.
2. Цифра 0 стоит в разряде десятков: десятков в числе нет, отдельного слагаемого для них не будет.
3. Цифра 7 в разряде единиц даёт 7; складываем ненулевые значения: 407 = 400 + 7.

Ответ: 407 = 400 + 7. Ноль не добавляет слагаемого, но сохраняет место десятков, чтобы 4 обозначала сотни, а 7 — единицы.

Задача 3. Сравнить числа 6 305 и 6 350 и назвать первую различающуюся цифру при чтении слева направо. У чисел одинаковое количество разрядов, а цифра тысяч у обоих равна 6. Значит, нужно проверять следующий разряд.

1. Сравниваем цифры сотен: в обоих числах это 3, различия пока нет.
2. Сравниваем цифры десятков: в первом числе 0, во втором 5. Здесь появляется первое различие.
3. Поскольку 0 десятков меньше, чем 5 десятков, первое число меньше второго.

Ответ: 6 305 < 6 350; впервые различаются цифры десятков — 0 и 5. До этого разряда числа совпадали, поэтому именно он определяет результат сравнения.

Типичные ошибки

Путают число и цифру: например, говорят, что число 28 — это цифра. Так происходит, потому что в разговоре оба понятия часто используют рядом. Проверь себя: если запись содержит несколько знаков, это число, составленное из цифр.

Считают, что значение цифры не зависит от места, и читают 40 как «четыре». Причина ошибки — внимание только к самой цифре, без учёта разряда. Чтобы проверить запись, назови разряд каждой цифры: в 40 цифра 4 стоит в разряде десятков и означает сорок.

Пропускают ноль внутри числа, например записывают 407 как 47. Ноль кажется ненужным, потому что сам не добавляет единиц, но без него цифры займут другие разряды. Проверь себя, назвав разряд каждой цифры: в 407 должны быть сотни, десятки и единицы, даже если десятков ноль.

Сравнивают числа по цифрам, начиная не с левого края. Это приводит к ошибке, если меньший разряд сравнивают раньше большего, хотя результат уже задаётся старшим разрядом. Проверяй числа слева направо и переходи к следующей паре цифр только тогда, когда предыдущие совпали.

Связь с другими темами

Для изучения нумерации нужно уметь пересчитывать предметы по одному, знать порядок чисел и понимать, что число обозначает количество. Разряды помогают выполнять сложение и вычитание многозначных чисел столбиком: единицы записывают под единицами, десятки — под десятками. Умение читать, записывать и сравнивать числа пригодится при работе с величинами и в задачах, где встречаются большие количества.

Что запомнить

• В десятичной записи используют цифры от 0 до 9.
• Значение цифры зависит от её места в записи числа.
• Десять единиц одного разряда составляют одну единицу следующего разряда.
• Ноль обозначает отсутствие единиц в разряде и сохраняет место цифр.
• При сравнении чисел сначала учитывают количество разрядов.
• Если разрядов поровну, числа сравнивают слева направо.