"Математика ", Александрова Э.И.
Умножение и деление помогают быстро считать одинаковые группы и распределять предметы поровну. Умножение заменяет сложение одинаковых слагаемых, а деление отвечает на обратный вопрос: сколько раз одно число содержится в другом. Зная названия компонентов, свойства нуля и единицы и связь этих действий, легче вычислять многозначные числа, выбирать действие в задаче и проверять ответ.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Умножение — действие, заменяющее сложение одинаковых слагаемых. Запись a · b означает, что число a складывают само с собой b раз; например, 5 · 3 = 5 + 5 + 5. Короткая запись удобна, когда равные группы повторяются много раз.
В записи a · b = c числа a и b называют множителями, а результат c — произведением. Множители показывают, какие числа перемножают, а произведение — сколько получилось. Такое название помогает отличать исходные числа от ответа.
Деление — действие, обратное умножению: по произведению и одному множителю находят другой. Запись a : b = c означает, что число a разделили на b равных частей или выяснили, сколько раз b содержится в a. Деление используют, когда нужно распределить общее количество поровну.
В записи a : b = c число a называют делимым, b — делителем, c — частным. Делимое — то, что делят, а делитель указывает, на что делят или на сколько частей. Эти названия нужны, чтобы верно выполнять деление и проверять его.
При умножении натурального числа на другое число первое число берут слагаемым нужное количество раз: 7 · 3 = 7 + 7 + 7. Число одинаковых слагаемых задаёт второй множитель, потому что именно он показывает, сколько раз повторяется первое число. Благодаря этому умножение становится сокращённой записью повторяющегося сложения.
Умножение и деление связаны как прямое и обратное действия. Если a · b = c, то c : a = b и c : b = a, когда делитель не равен нулю и деление определено. Деление «отменяет» умножение: оно помогает восстановить неизвестный множитель по произведению и известному множителю.
Единица при умножении не меняет число, потому что она означает одно слагаемое: a · 1 = a. Ноль даёт ноль, так как сумма нуля одинаковых слагаемых не содержит ни одного слагаемого: a · 0 = 0. При делении на единицу всё число остаётся без изменения, а 0 : a = 0 при a ≠ 0, поскольку 0 · a = 0.
На ноль делить нельзя. Если делимое не равно нулю, не найдётся такого частного, которое при умножении на ноль даст это делимое: любое число, умноженное на ноль, равно нулю. В случае 0 : 0 подошло бы любое число, поэтому нельзя определить единственный ответ.
Многозначные числа умножают и делят с учётом разрядов: единиц, десятков, сотен и далее. При письменном умножении вычисляют по разрядам и складывают полученные результаты, а при делении последовательно находят цифры частного. Запись разрядов важно вести аккуратно, а готовый ответ проверять обратным действием: умножение — делением, деление — умножением.
| Свойство или элемент | Умножение | Деление |
|---|---|---|
| Обозначение действия | a · b | a : b |
| Названия чисел и результата | Множители, произведение | Делимое, делитель, частное |
| Связь с обратным действием | Обратное действие — деление | Обратное действие — умножение |
| Действие с нулём | a · 0 = 0 | 0 : a = 0 при a ≠ 0; на ноль делить нельзя |
| Действие с единицей | a · 1 = a | a : 1 = a |
| Проверка результата | Разделить произведение на один из множителей | Умножить частное на делитель |
Сначала найдите в таблице нужное действие и его компоненты, затем сверьте правило или способ проверки. Особое внимание уделяйте строкам про ноль: умножение на ноль допустимо, а деление на ноль — нет.
Задача 1. Вычислите 6 · 4 и запишите произведение как сумму одинаковых слагаемых. Здесь число 6 повторяется четыре раза, поэтому слагаемых будет столько, сколько показывает второй множитель. Сложение поможет увидеть, почему произведение равно именно этому числу.
Ответ: 6 · 4 = 24; 6 + 6 + 6 + 6 = 24.
Задача 2. Вычислите 864 : 12 и проверьте результат умножением. Нужно выяснить, сколько раз 12 содержится в 864. При делении столбиком учитываем разряды и после вычисления умножаем частное на делитель.
Ответ: 864 : 12 = 72; проверка показывает, что частное найдено верно.
Задача 3. Для поездки подготовили 7 одинаковых автобусов по 36 мест. Сколько всего мест? Сколько автобусов нужно для 180 учеников, если в каждом автобусе 36 мест? В первом вопросе ищем общее количество мест в равных группах, поэтому умножаем; во втором по общему количеству учеников и вместимости одного автобуса находим число автобусов, поэтому делим.
Ответ: всего 252 места; для 180 учеников потребуется 5 автобусов.
Нельзя считать, что a · b и a : b — взаимозаменяемые записи. При делении числа меняют роли, а порядок важен: 12 : 3 = 4, но 3 : 12 — уже другое действие. Ошибку допускают, потому что видят одинаковые числа и знак действия; проверьте, отвечает ли запись условию задачи.
Запись 0 : 0 не равна ни нулю, ни «любому числу»: такое деление не определено. Путаница возникает из-за правила 0 : a = 0, но оно действует только при a ≠ 0. Проверка проста: деление должно давать единственное частное, а здесь им могло бы быть любое число.
Не путайте делимое и делитель, особенно при проверке. Частное умножают на делитель, чтобы получить делимое: если 20 : 4 = 5, то 5 · 4 = 20. Чтобы проверить запись, назовите числа по местам и выполните обратное действие.
При письменных вычислениях ошибка может появиться, если цифры записаны не под тем разрядом или пропущен разряд. Тогда результат выглядит правдоподобно, но обратное действие часто обнаруживает несоответствие. Проверяйте расположение единиц, десятков и сотен и пересчитывайте произведение или деление.
Для этой темы нужны смысл сложения и вычитания, знание разрядного состава числа и таблицы умножения. Сложение объясняет, почему умножение можно записать как повторение одинаковых слагаемых, а разряды помогают выполнять действия с многозначными числами. Таблица умножения ускоряет вычисления и деление.
Умножение и деление встречаются в текстовых задачах, при нахождении неизвестного компонента действий и при работе с дробями. Умение выбирать обратное действие помогает находить неизвестное число и проверять решение. Эти действия становятся основой для более сложных вычислений.
Почему умножение можно заменить сложением?
Умножение натуральных чисел означает сложение одинаковых слагаемых несколько раз. Например, 6 · 4 — это четыре слагаемых, каждое из которых равно 6: 6 + 6 + 6 + 6. Такая запись короче и помогает быстрее считать.
Как понять, какое число является делителем?
В записи a : b = c делитель — число b, на которое делят делимое a. Проверка помогает не перепутать компоненты: частное c умножают на делитель b и получают делимое a.
Почему на ноль делить нельзя?
Деление проверяют умножением частного на делитель. При делении на ноль произведение всегда было бы равно нулю, поэтому ненулевое делимое получить невозможно. А для 0 : 0 подошло бы любое число, так что единственного ответа нет.
Как проверить результат деления?
Умножьте частное на делитель. Если получили делимое, результат верен: например, для 864 : 12 = 72 проверка — 72 · 12 = 864.
Как выбрать между умножением и делением в текстовой задаче?
Если известно количество одинаковых групп и число предметов в каждой, а нужно найти общее количество, умножайте. Если известны общее количество и размер одной группы, а нужно узнать число групп или предметов в группе, делите. Проверьте, отвечает ли полученное число на вопрос задачи.
Умножение и деление
