"Математика", Бунимович Е.А., Дорофеев Г.В., Суворова С.Б. и др.
Умножение и деление помогают быстро работать с одинаковыми группами чисел и находить неизвестный множитель. Умножение заменяет сложение одинаковых слагаемых, а деление по произведению и одному множителю позволяет найти другой. Нужно знать названия чисел в записях действий, помнить особые случаи с нулём, соблюдать порядок действий и проверять деление умножением.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Умножение натуральных чисел — это сложение одинаковых слагаемых. Например, 4 · 3 = 3 + 3 + 3 + 3. Результат умножения называют произведением.
В записи a · b = c числа a и b называют множителями, а число c — произведением. Множители показывают, какие числа перемножают. Эти названия помогают правильно читать равенство и находить неизвестное число.
Деление натуральных чисел помогает по произведению и одному множителю найти другой множитель. Если a · b = c, то c : a = b или c : b = a, если делитель не равен нулю. Поэтому умножение и деление связаны между собой.
В записи a : b = c число a называют делимым, b — делителем, а c — частным. Делитель не может быть равен нулю: b ≠ 0. Эти названия нужны, чтобы понимать роль каждого числа при вычислении и проверке.
Умножение заменяет сложение одинаковых слагаемых, потому что одинаковую группу удобно записать коротко. В выражении 4 · 3 первое число показывает количество слагаемых, а второе — значение каждого из них. Поэтому 4 · 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12.
Умножение и деление связаны одним равенством. Из a · b = c можно получить два равенства на деление: c : a = b и c : b = a. Это возможно потому, что деление как раз помогает восстановить неизвестный множитель.
Деление на ноль невозможно, так как любое число, умноженное на ноль, даёт ноль. Значит, нельзя подобрать число, которое при умножении на 0 даст, например, 8. А 0 : b = 0 при b ≠ 0, потому что b · 0 = 0.
В выражениях сначала выполняют действия более высокой ступени, а умножение и деление относятся к одной ступени. Если они встречаются вместе без скобок, их считают слева направо: первое действие может изменить число, с которым выполняется следующее. Сложение и вычитание выполняют после умножения и деления.
Результат деления проверяют умножением. Для этого частное умножают на делитель и сравнивают полученное число с делимым. Если числа совпали, найденное частное верно.
| Что сравниваем | Умножение | Деление |
|---|---|---|
| Запись действия | a · b = c | a : b = c |
| Как называются числа и результат | a и b — множители, c — произведение | a — делимое, b — делитель, c — частное |
| Связь действий | Объединяет одинаковые слагаемые | По произведению и множителю находит другой множитель |
| Особые случаи с нулём | a · 0 = 0 | 0 : b = 0 при b ≠ 0; на 0 делить нельзя |
| Как проверить результат | Можно выполнить сложение одинаковых слагаемых | Частное умножают на делитель |
Таблица помогает быстро сравнить смысл действий и названия их компонентов. По строке «Связь действий» можно вспомнить, почему умножение и деление являются обратными действиями. Для проверки деления используйте последнюю строку: частное · делитель должно равняться делимому.
В коробке 6 рядов по 4 карандаша. Нужно узнать общее количество карандашей. Одинаковое число карандашей повторяется 6 раз, поэтому сложение можно заменить умножением.
Ответ: в коробке 24 карандаша.
Вычислим 84 : 7 и проверим результат. Нужно найти такое число, которое при умножении на 7 даст 84.
Ответ: 12; проверка: 12 · 7 = 84.
Вычислим 48 : 6 · 3 + 5. Умножение и деление имеют одинаковую ступень, поэтому начинаем с левого действия, а сложение выполняем последним.
Ответ: 29. Если сначала выполнить умножение с числом 3, получится другой порядок действий, которого в данном выражении нет.
Иногда множители путают со слагаемыми. Умножение связано с одинаковыми слагаемыми, но сложение 2 + 3 нельзя заменить одним произведением без изменения смысла. Проверьте, повторяется ли одно и то же число несколько раз.
Нельзя считать, что a : b и b : a дают один результат. При перестановке чисел меняются делимое и делитель, поэтому меняется и действие. Для проверки прочитайте, какое число на какое делят.
Ошибка «разделить на ноль» возникает из-за обычного стремления выполнить указанное действие. Но числа, которое при умножении на 0 даст ненулевое делимое, не существует. Убедитесь, что делитель не равен нулю.
В выражении с умножением и делением иногда сначала выполняют все умножения. Это неверно, если деление стоит левее умножения: действия одной ступени идут слева направо. Полезно мысленно отметить первое действие среди знаков умножения и деления.
До изучения темы нужно уметь складывать натуральные числа и узнавать сумму одинаковых слагаемых. Это позволяет понять смысл умножения. Затем новый знак делает запись короче.
Умножение и деление нужны в текстовых задачах и при вычислении значений выражений. С их помощью находят количество предметов в равных группах и распределяют предметы поровну. Эти действия также помогают изучать свойства чисел.
Связь деления с умножением используется для проверки вычислений. Позже она поможет понять деление с остатком. При этом результат проверки будет состоять из произведения и остатка.
Почему умножение можно заменить сложением?
Умножение показывает, сколько раз нужно взять одно и то же число слагаемым. Например, 4 · 3 означает 3 + 3 + 3 + 3.
Как проверить, правильно ли выполнено деление?
Найденное частное нужно умножить на делитель. Если получилось делимое, деление выполнено верно.
Можно ли делить на ноль?
Нет, делить на ноль нельзя. Не существует такого числа, которое при умножении на ноль даст ненулевое делимое.
Чему равно ноль, делённый на число?
Ноль, делённый на любое ненулевое число, равен нулю: 0 : b = 0, если b ≠ 0.
В каком порядке выполнять умножение и деление в одном выражении?
Умножение и деление имеют одинаковую ступень. Поэтому их выполняют слева направо, а сложение и вычитание выполняют после них.
10. Умножение и деление
