11. Порядок действий в вычислениях

Определения и обозначения

Числовое выражение — это запись из чисел, знаков действий и, возможно, скобок. Например, 8 + 3 · 2 — числовое выражение. Чтобы узнать его значение, нужно выполнить все указанные действия в правильной последовательности.

Порядок действий — последовательность, в которой выполняют действия в выражении, чтобы получить его значение. Он нужен, когда в записи несколько действий: без общего правила люди могли бы получить разные ответы. Правильный порядок помогает вычислять одинаково и проверять результат.

Действия первой ступени — сложение и вычитание. Если в выражении есть только эти действия, их выполняют по очереди слева направо. Например, в записи 12 − 5 + 2 сначала выполняют вычитание, а затем сложение.

Действия второй ступени — умножение и деление. Если рядом встречаются оба этих действия, их тоже выполняют слева направо. Например, в выражении 24 : 4 · 2 сначала делят 24 на 4, а потом умножают результат на 2.

Как это устроено

В выражениях без скобок умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания. Иначе запись вроде 8 + 3 · 2 могла бы пониматься двумя способами: как 8 + 6 или как 11 · 2. Первое правило закрепляет один порядок: сначала 3 · 2, затем прибавление 8. Поэтому у выражения появляется одно определённое значение.

Скобки показывают, какую часть выражения нужно вычислить в первую очередь. Внутри них сначала выполняют действия, даже если это сложение или вычитание, которые обычно идут после умножения и деления. Например, в записи 5 · (4 + 2) сначала находят сумму 4 + 2, потому что скобки объединяют эти числа. Только затем умножают 5 на полученный результат.

Если в выражении несколько действий одной ступени, их выполняют слева направо. Это правило распространяется и на пару сложение–вычитание, и на пару умножение–деление. Например, в 20 : 5 · 2 нельзя сначала выбрать умножение только потому, что оно кажется привычнее: первое действие здесь деление, и именно с него начинают.

Когда скобки сочетаются с действиями разных ступеней, применяют правила по очереди. Сначала находят значения выражений в скобках, потому что скобки задают начальный шаг. Затем выполняют умножение и деление, а после них — сложение и вычитание. Если на одном этапе есть несколько действий одной ступени, их снова считают слева направо.

Чтобы записать вычисления и проверить их, каждый раз выделяй одно действие, которое по правилам нужно выполнить следующим. Найди его результат и замени только эту часть выражения, сохранив остальные числа и знаки. Затем определи следующий шаг уже в новой записи. Такая последовательность промежуточных строк помогает заметить, где мог потеряться знак или измениться порядок.

Порядок выполнения действий в числовом выражении

Пользуйся таблицей сверху вниз: сначала проверь, есть ли скобки, а потом определи ступень оставшихся действий. Когда действий одной ступени несколько, начинай с самого левого. После каждого шага перепиши выражение и снова выбери действие по правилам.

Разбор задач

Задача 1. Вычислить 18 − 6 + 3. Здесь есть вычитание и сложение, то есть два действия первой ступени. Ни скобок, ни действий второй ступени нет, поэтому выбираем действие слева. После его выполнения останется только сложение.

1. Выполняем первое действие слева: 18 − 6 = 12. Записываем вместо этой части выражение 12 + 3.
2. Выполняем оставшееся сложение: 12 + 3 = 15.

Ответ: 15. Важно не начать с 6 + 3: это действие стоит правее, а сложение и вычитание выполняются последовательно слева направо. Полученное значение можно проверить обратным действием: к 12 прибавили 3 и получили 15.

Задача 2. Вычислить 24 : 6 + 5 · 2. В записи есть деление, умножение и сложение. Деление и умножение относятся ко второй ступени, поэтому их нужно выполнить до сложения. Они расположены слева направо, что помогает выбрать первое действие без догадок.

1. Сначала выполняем деление: 24 : 6 = 4. Получаем 4 + 5 · 2.
2. Затем выполняем умножение: 5 · 2 = 10. Теперь выражение выглядит так: 4 + 10.
3. Выполняем сложение: 4 + 10 = 14.

Ответ: 14. Если бы мы сначала сложили 6 и 5 или прибавили 5 к 4, то нарушили бы правило ступеней. Проверка записи по шагам показывает, что сначала выполнены все действия второй ступени, а затем действие первой.

Задача 3. Вычислить 36 : (4 + 2) · 3 − 5. Здесь есть скобки, деление, умножение и вычитание. Начинать с действия вне скобок нельзя: сначала нужно узнать, чему равна сумма в скобках. После этого останутся действия, для которых применяются правила ступеней и движения слева направо.

1. Вычисляем сумму в скобках: 4 + 2 = 6. Получаем 36 : 6 · 3 − 5.
2. Деление и умножение — действия одной ступени. Выполняем их слева направо: 36 : 6 = 6, затем 6 · 3 = 18.
3. Остаётся вычитание: 18 − 5 = 13.

Ответ: 13. В этом примере нужно было применить правила последовательно: сначала скобки, затем действия второй ступени, а в конце вычитание. При проверке сравнивай каждую новую строку с предыдущей: меняться должны только выполненное действие и его результат.

Типичные ошибки

• Выполнять действия строго слева направо, не учитывая ступени, — значит, например, сложить числа раньше, чем выполнить умножение. Такую ошибку часто допускают, перенося правило «слева направо» на все действия подряд. Проверь себя: сначала найди скобки, затем умножение и деление, и только после этого сложение и вычитание.

• Считать умножение важнее деления или сложение важнее вычитания неправильно: действия одной ступени равноправны. Ошибка возникает, если запомнить отдельные знаки, но забыть правило для ступени. Проверяй расположение: среди действий второй ступени выбирай самое левое, как и среди действий первой.

• Выполнять действия внутри скобок после действий вне скобок — значит не учитывать, что скобки задают начало вычислений. Это может произойти, если сначала заметить умножение или деление снаружи. Перед решением обведи взглядом скобки и проверь, что сначала вычисляется их содержимое.

• При переписывании менять порядок действий или пропускать промежуточные результаты опасно: можно потерять знак, число или сам шаг вычисления. Обычно так случается, когда пытаются считать сразу в уме длинную запись. Для проверки записывай новую строку после каждого действия и сверяй, что все невычисленные части выражения остались на месте.

Связь с другими темами

Для вычислений по правилам порядка действий нужно знать таблицу умножения и уметь выполнять сложение, вычитание, умножение и деление. Эти правила пригодятся при нахождении значений числовых выражений с дробями и десятичными числами: меняются числа, но порядок действий остаётся тем же. Они также нужны при подстановке чисел в формулы, где важно правильно выполнить каждое действие. Понимание выражений станет основой для дальнейшего изучения математических записей.

Что запомнить

• Сначала выполняют действия в скобках.
• Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания.
• Действия одной ступени выполняют слева направо.
• Умножение и деление относятся ко второй ступени.
• Сложение и вычитание относятся к первой ступени.
• Значение выражения зависит от соблюдения порядка действий.