3.3. Порядок действий в вычислениях

Определения и обозначения

Порядок действий — очередность, в которой выполняют вычисления в выражении. Он нужен, чтобы разные люди, решая один пример, получили один и тот же результат. Без общего правила выражение с несколькими действиями можно было бы понимать по-разному.

Действия первой ступени — сложение и вычитание. У них одинаковый приоритет, поэтому ни одно из этих действий не выполняют раньше другого только из-за его названия. Знание этого правила помогает правильно считать выражения, где сложение и вычитание встречаются вместе.

Действия второй ступени — умножение и деление. Они имеют более высокий приоритет, чем сложение и вычитание, поэтому обычно выполняются раньше них. Это позволяет сначала находить отдельные группы равных слагаемых или частей числа, а затем объединять результаты сложением или вычитанием.

Скобки — знаки, указывающие, какие действия нужно выполнить раньше остальных. Выражение внутри скобок считают первым, даже если там есть сложение или вычитание. Скобки позволяют специально изменить обычную очередность вычислений.

Как это устроено

В выражении без скобок сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Причина в том, что действия второй ступени имеют преимущество перед действиями первой ступени. Например, в выражении 7 + 3 · 4 сначала находят произведение 3 · 4, потому что оно образует один общий результат, который затем прибавляют к 7.

Если встречаются действия одной ступени, нужно двигаться слева направо. Так сохраняется порядок, заданный записью выражения: в примере 20 − 8 + 3 сначала выполняют вычитание, а потом сложение. Если начать с действия справа, получится уже другое вычисление, а не то, которое записано в примере.

Скобки задают особую очередность, потому что показывают отдельную часть выражения. Сначала находят значение внутри скобок, превращая эту часть в одно число, и только потом продолжают вычисления. Поэтому в выражении 5 · (6 + 2) сначала складывают 6 и 2, хотя сложение обычно имеет более низкий приоритет, чем умножение.

Чтобы разобрать выражение с несколькими действиями, сначала найдите все скобки. Затем определите действия второй ступени и выполните их слева направо, а после этого выполните оставшиеся действия первой ступени также слева направо. Такой порядок превращает длинное выражение в цепочку понятных коротких шагов.

Промежуточные результаты полезно записывать после каждого выполненного действия. Они показывают, какая часть выражения уже посчитана, и не позволяют случайно изменить порядок операций. Нельзя переставлять действия одной ступени только потому, что так кажется удобнее: запись слева направо уже задаёт нужную последовательность.

Очередность выполнения действий

Пользуйся таблицей как алгоритмом: сначала проверь наличие скобок, затем найди действия второй ступени и только после этого переходи к первой ступени. Если действий одного вида несколько, не перескакивай через ближайшее действие слева.

Разбор задач

Пример 1. Вычислить 18 − 6 + 4.

В выражении нет скобок, умножения и деления. Значит, остались только действия первой ступени, и их нужно выполнять слева направо.

1. Сначала вычитаем: 18 − 6 = 12.
2. Полученный результат складываем с 4: 12 + 4 = 16.

Ответ: 16. Нельзя сначала сложить 6 и 4, потому что это изменило бы заданный порядок действий.

Пример 2. Вычислить 24 − 12 : 3 + 2 · 5.

Сначала ищем действия второй ступени: деление 12 : 3 и умножение 2 · 5. Они находятся раньше сложения и вычитания, поэтому сначала вычислим их, не меняя взаимный порядок.

1. Выполняем деление: 12 : 3 = 4.
2. Выполняем умножение: 2 · 5 = 10.
3. Получаем выражение 24 − 4 + 10 и считаем слева направо: 24 − 4 = 20, затем 20 + 10 = 30.

Ответ: 30. Сложение не выполнялось первым, хотя знак плюс расположен между другими знаками.

Пример 3. Вычислить 48 : (7 + 5) + 3 · (9 − 4).

В этом выражении есть две пары скобок, поэтому начинать нужно с них. После вычисления скобок останутся деление, умножение и сложение, которые можно выполнить по обычным правилам.

1. Находим первое выражение в скобках: 7 + 5 = 12.
2. Находим второе выражение в скобках: 9 − 4 = 5.
3. Получаем 48 : 12 + 3 · 5.
4. Выполняем деление и умножение: 48 : 12 = 4, 3 · 5 = 15.
5. Складываем результаты: 4 + 15 = 19.

Ответ: 19. Значения в скобках нашли первыми, а сложение выполнили последним.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Выполнять все действия подряд слева направо, не учитывая ступени. Так часто делают, потому что видят пример как обычную строку, но умножение и деление имеют преимущество. Проверь себя: сначала обведи или отметь все скобки и действия второй ступени.

Ошибка 2. Выполнять сложение раньше умножения только потому, что знак плюс записан левее. Положение знака в строке не отменяет приоритет операций. Проверь вычисление, заменив сначала произведение или частное его значением.

Ошибка 3. Начинать считать вне скобок, не найдя значение внутри них. Скобки специально показывают, какую часть нужно выполнить первой. Проверь себя: перед первым действием спроси, остались ли в выражении невычисленные скобки.

Ошибка 4. Менять порядок действий одной ступени, например сначала вычитать, а потом прибавлять. Такая ошибка возникает, когда ученик выбирает действие, которое кажется проще, но получает другое выражение. Проверь себя: для операций одной ступени двигайся строго слева направо.

Связь с другими темами

До этой темы нужно знать названия и обозначения арифметических действий, а также уметь выполнять сложение, вычитание, умножение и деление. Если сами вычисления вызывают затруднения, сначала повтори таблицу умножения и правила действий с числами.

Порядок действий нужен при вычислении значений числовых выражений. Позже это правило пригодится и в буквенных выражениях, где вместо чисел могут встречаться буквы, но очередность операций останется такой же.

Что запомнить

• Сначала выполняют действия в скобках.
• Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания.
• Действия одной ступени выполняют слева направо.
• Сложение и вычитание относятся к действиям первой ступени.
• Умножение и деление относятся к действиям второй ступени.
• Записывай промежуточные результаты, чтобы не потерять порядок вычислений.