"Математика", Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др. / Под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф.
Умножение помогает быстро складывать одинаковые числа, а деление — находить неизвестный множитель или распределять предметы поровну. Чтобы вычислять без ошибок, нужно понимать смысл записи, знать названия чисел и пользоваться свойствами умножения. Деление связано с умножением: его результат можно проверить обратным действием. Разберём также особые случаи с нулём и единицей и научимся применять действия в задачах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Умножение натуральных чисел — действие, которым заменяют сложение одинаковых слагаемых. В записи a · b число a повторяется слагаемым b раз: например, 3 · 4 = 3 + 3 + 3 + 3. Такая запись помогает короче и быстрее записывать одинаковые слагаемые.
Множители — числа, которые перемножают; произведение — результат умножения. В записи 5 · 6 множители — 5 и 6, а произведение равно 30. Эти названия помогают понять, какие числа участвуют в действии и что получилось.
Деление — действие, обратное умножению: по произведению и одному множителю находят другой. Например, если 4 · 3 = 12, то 12 : 4 = 3. Так деление помогает найти неизвестное число в равенстве на умножение.
В записи a : b = c число a называется делимым, b — делителем, а c — частным. Делимое показывает, какое число делят, делитель — на сколько равных частей делят или какого размера ищут группы, частное — результат. Названия позволяют правильно читать действие и составлять проверку.
Умножение a · b можно представить как сумму b слагаемых, каждое из которых равно a. Например, 7 · 3 = 7 + 7 + 7 = 21: три одинаковые группы по семь предметов дают всего 21 предмет. Когда группы равны, сложение их содержимого удобно заменить умножением. Если слагаемых немного, сумма помогает понять и проверить смысл произведения.
Перестановка множителей не меняет произведение: a · b = b · a. Это происходит потому, что общее количество предметов в одинаковых рядах не зависит от того, считаем ли мы ряды или предметы в каждом ряду: 3 · 4 и 4 · 3 дают 12. Множители можно также группировать по-разному: (a · b) · c = a · (b · c), поскольку общее число одинаковых групп остаётся тем же. Эти свойства позволяют сначала выбрать вычисления, которые проще выполнить.
При умножении на 1 число не меняется: a · 1 = a. В сумме из одного слагаемого остаётся само число a. При умножении на 0 получается 0: a · 0 = 0, ведь ноль означает, что слагаемых a нет ни одного, и складывать нечего. Это объясняет особые результаты, а не просто задаёт правило для запоминания.
Деление связано с умножением так: a : b = c тогда и только тогда, когда b · c = a, причём b не равно 0. Если разделить 20 на 5 и получить 4, проверяем: 5 · 4 = 20. Проверка работает, потому что деление находит неизвестный множитель в произведении. Если умножение не возвращает делимое, значит, в вычислении или записи допущена ошибка.
Делить на 0 нельзя: не существует такого частного c, чтобы 0 · c равнялось ненулевому делимому, потому что любое произведение с множителем 0 равно 0. Даже при делимом 0 частное не получается определить однозначно: 0 · c = 0 при любом c. При делении на 1 число сохраняется, так как 1 · a = a, поэтому a : 1 = a. Так обратная связь с умножением объясняет оба правила.
| Свойство или элемент | Умножение | Деление |
|---|---|---|
| Запись действия | a · b | a : b |
| Как называются числа и результат | Множители, произведение | Делимое, делитель, частное |
| Связь с обратным действием | Делением находят неизвестный множитель | a : b = c, если b · c = a |
| Особые случаи с 0 и 1 | a · 1 = a; a · 0 = 0 | a : 1 = a; на 0 делить нельзя |
| Как проверить результат | Для произведения можно применить смысл умножения или обратное деление | Частное умножить на делитель и сравнить с делимым |
Сначала найдите в таблице нужное действие и посмотрите, как называются его числа. Затем сверьте особый случай или способ проверки. Так таблица помогает не путать правила умножения и деления.
Задача 1. Вычислите 6 · 4, используя смысл умножения. Нужно заменить умножение сложением одинаковых слагаемых. Второй множитель показывает, сколько раз надо взять первое число. После сложения проверим, что получили общее количество.
Ответ: 6 · 4 = 24.
Задача 2. Вычислите 25 · 7 · 4 удобным способом. Если считать по порядку, можно получить 25 · 7 = 175, а затем умножать на 4. Но свойства умножения разрешают изменить порядок и группировку множителей, не меняя произведения. Удобно сначала перемножить 25 и 4: их произведение — круглое число 100.
Ответ: 700.
Задача 3. В коробки разложили 168 карандашей поровну, по 12 в каждую. Сколько понадобилось коробок? Проверьте ответ. Известно общее число карандашей и число карандашей в одной коробке. Значит, надо узнать, сколько групп по 12 помещается в 168, то есть выполнить деление. Проверка должна восстановить общее количество карандашей умножением.
Ответ: понадобилось 14 коробок. Проверка подтверждает результат.
Иногда считают, что a · b и b · a должны давать разные результаты, потому что числа записаны в обратном порядке. Порядок множителей меняет способ описания групп, но не их общее количество. Ошибку допускают, путая запись со значением произведения. Проверьте оба варианта вычислением: например, 6 · 4 и 4 · 6 равны 24.
При делении на 0 пытаются подобрать частное, забывая, что любое число, умноженное на 0, даёт 0. Поэтому ненулевое делимое получить невозможно, а при делимом 0 подходящих частных сразу много. Чтобы проверить себя, представьте деление как поиск неизвестного множителя: если нужного единственного числа нет, деление не определено.
Делимое и делитель путают, когда неверно читают запись a : b. Делимое стоит до знака деления и обозначает число, которое делят; делитель стоит после него и показывает, на сколько делят. Из-за перестановки этих чисел составляют неверное обратное действие. Перечитайте запись и проверьте, что делитель, умноженный на частное, даёт именно делимое.
Деление иногда пытаются проверить сложением, потому что забывают, какое действие ему обратное. Но частное показывает неизвестный множитель, поэтому проверять нужно умножением делителя на частное. Например, для 24 : 6 = 4 проверка — 6 · 4 = 24. Если сумма вместо произведения не возвращает делимое, выберите правильное обратное действие и повторите проверку.
Для понимания умножения пригодится сложение натуральных чисел: сначала нужно уметь находить сумму одинаковых слагаемых. Это знание помогает увидеть, почему умножение заменяет несколько одинаковых сложений. Связь умножения и деления позволяет решать текстовые задачи и находить неизвестное число в выражениях. Позже эти действия понадобятся при изучении дробей, где тоже важно понимать, как связаны части и целое.
Почему умножение можно заменить сложением?
Умножение натуральных чисел обозначает сложение одинаковых слагаемых. Например, 3 · 4 — это четыре слагаемых, каждое из которых равно 3: 3 + 3 + 3 + 3 = 12.
Меняется ли произведение, если поменять множители местами?
Нет, произведение остаётся тем же: a · b = b · a. Например, 6 · 4 = 4 · 6 = 24, хотя смысл записи как повторного сложения можно описать по-разному.
Как удобнее вычислить произведение нескольких чисел?
Можно переставлять и группировать множители так, чтобы сначала перемножить удобные числа. Например, в 25 · 7 · 4 сначала вычисляют 25 · 4 = 100, а затем умножают 100 на 7.
Почему на ноль делить нельзя?
Деление проверяют умножением: если a : 0 = c, должно быть верно 0 · c = a. При любом c произведение 0 · c равно 0, поэтому для ненулевого a подходящего частного нет; деление на ноль не определено и для нуля.
Как проверить, правильно ли выполнено деление?
Нужно умножить делитель на найденное частное. Если получилось делимое, деление выполнено верно: например, 168 : 12 = 14 проверяется равенством 12 · 14 = 168.
3.2. Умножение и деление
