3.1. Сложение и вычитание

Определения и обозначения

Сложение — действие, которое объединяет количества. Запись a + b означает, что к числу a прибавляют число b. Это нужно, когда находят общее число предметов или величину, полученную из двух частей.

Слагаемое — каждое число, которое складывают. В записи a + b первое число a называют первым слагаемым, а b — вторым слагаемым. Названия помогают понять, какие числа участвуют в действии.

Сумма — результат сложения, например в записи 6 + 4 = 10 числом 10 является сумма. Суммой также называют выражение, составленное из слагаемых: 6 + 4 — это сумма. Поэтому по смыслу слово «сумма» может обозначать и действие, и его результат.

Вычитание — действие, обратное сложению. В записи a − b число a называют уменьшаемым, b — вычитаемым, а полученный результат — разностью. Вычитание показывает, сколько осталось после удаления части или на сколько одно число отличается от другого.

Как это устроено

Если в коробке было 5 красных и 3 синих карандаша, чтобы узнать общее количество, их объединяют: 5 + 3 = 8. Если из 8 карандашей взяли 3, осталось 5, поэтому 8 − 3 = 5. Так вычитание помогает найти остаток, а при сравнении двух величин — разницу между ними.

Сложение и вычитание связаны, потому что вычитание отменяет прибавление. Если a + b = c, то из общего результата c можно убрать a и получить b: c − a = b. Можно убрать и b, тогда c − b = a; это позволяет проверять ответы и находить неизвестное число.

У сложения есть переместительное свойство: a + b = b + a, потому что от перестановки частей общее количество не меняется. Есть и сочетательное свойство: (a + b) + c = a + (b + c). Благодаря ему слагаемые можно объединять в удобные группы, например 18 + 2 + 35 = (18 + 2) + 35 = 55.

У вычитания нет переместительного свойства: 12 − 5 = 7, а 5 − 12 нельзя выполнить в натуральных числах. Результат зависит от того, какое число стоит первым, потому что уменьшаемое показывает исходное количество. При письменном вычитании сравнивают одноимённые разряды, а если цифра уменьшаемого меньше, занимают единицу из соседнего разряда.

Вычитание проверяют сложением: к разности прибавляют вычитаемое и получают уменьшаемое. В выражении со скобками сначала выполняют действие внутри скобок, затем остальные действия слева направо. Например, 20 − (6 + 4) = 20 − 10 = 10, а не 14.

Сложение и вычитание: смысл и компоненты

Таблица помогает быстро сравнить два действия и вспомнить названия их частей. При разборе примера сначала найдите знак действия, затем определите компоненты и выберите подходящее свойство или способ проверки.

Разбор задач

Задача 1. В библиотеке было 248 книг, затем принесли ещё 137. Нужно найти общее количество, поэтому выбираем сложение. Записываем числа по разрядам и складываем справа налево.

1. Складываем единицы: 8 + 7 = 15, записываем 5 единиц и 1 десяток переносим к десяткам.
2. Складываем десятки: 4 + 3 + 1 = 8 десятков.
3. Складываем сотни: 2 + 1 = 3 сотни; получаем 248 + 137 = 385.

Ответ: в библиотеке стало 385 книг. Перенос единицы нужен, потому что 15 единиц составляют 1 десяток и 5 единиц.

Задача 2. В коробке было 503 карандаша, 176 раздали. Нужно узнать остаток, значит, выполняем вычитание. Вычитаем по разрядам, начиная с единиц.

1. Из 3 единиц нельзя вычесть 6, поэтому занимаем сотню: 503 превращается в 4 сотни, 9 десятков и 13 единиц.
2. Вычитаем единицы: 13 − 6 = 7, десятки: 9 − 7 = 2.
3. Вычитаем сотни: 4 − 1 = 3; получаем 503 − 176 = 327.

Ответ: осталось 327 карандашей. Проверка сложением даёт 327 + 176 = 503, значит, результат верен.

Задача 3. В двух залах 425 и 368 мест, продали 579 билетов. Сначала нужно узнать общее число мест, а затем убрать проданные билеты. Поэтому выражение имеет вид (425 + 368) − 579.

1. Находим число всех мест: 425 + 368 = 793.
2. Вычитаем проданные билеты: 793 − 579 = 214.
3. Проверяем порядок: сначала выполнено действие в скобках, затем вычитание.

Ответ: свободными останутся 214 мест. Если сначала вычитать из одного зала, смысл задачи потеряется, потому что билеты проданы для обоих залов вместе.

Типичные ошибки

Иногда уменьшаемое и вычитаемое меняют местами. Так делают, забывая, что первое число обозначает исходное количество; в натуральных числах из меньшего числа нельзя вычесть большее. Проверьте себя: определите, какое количество было сначала, и поставьте его первым.

Другая ошибка — считать вычитание переместительным, как сложение. Например, 15 − 7 = 8, но 7 − 15 в натуральных числах выполнить нельзя. Подставьте числа в обратном порядке и сравните результаты.

При вычислении по разрядам можно забыть занять единицу из соседнего разряда. Это случается, когда цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого. После каждого заимствования проверьте, уменьшился ли соседний разряд на единицу, а текущий увеличился на десять.

В выражениях со скобками иногда начинают считать не с них. Ошибка возникает, если смотреть только на порядок знаков слева направо. Сначала обведите действие в скобках, выполните его, а затем продолжайте вычисление.

Связь с другими темами

Для сложения и вычитания нужно знать разрядный состав натуральных чисел. Числа записывают так, чтобы единицы стояли под единицами, десятки — под десятками, а сотни — под сотнями.

Эти действия встречаются в текстовых задачах на объединение, остаток и сравнение величин. По словам «всего» часто выбирают сложение, а по словам «осталось» или «на сколько больше» — вычитание.

Сложение и вычитание нужны при изучении умножения и деления, числовых выражений и уравнений. Умение находить неизвестное с помощью обратного действия станет основой для дальнейших вычислений.

Что запомнить

• Слагаемые складывают, сумма — результат сложения.
• Вычитание — действие, обратное сложению.
• Уменьшаемое минус вычитаемое равно разности.
• Слагаемые можно менять местами и объединять в группы.
• При вычитании порядок чисел менять нельзя.
• Вычитание проверяют сложением.
• В выражении со скобками сначала выполняют действие в скобках.