Порядок действий в вычислениях

Определения и обозначения

Числовое выражение — это запись, составленная из чисел, знаков арифметических действий и скобок. Например, 18 − 6 : 3 + 4 · 2 — числовое выражение. По такой записи можно выполнить действия и получить вычисляемую величину.

Значение числового выражения — число, которое получается после выполнения всех действий в выражении. Например, значение выражения 7 + 2 · 3 равно 13. Этот термин нужен, чтобы отличать саму запись от результата её вычисления.

Порядок действий — установленная последовательность выполнения арифметических операций в выражении. Она показывает, какое действие делать первым, вторым и так далее. Благодаря этому одна и та же запись даёт один и тот же результат.

Скобки — знаки, которые указывают, какие действия нужно выполнить раньше остальных. В выражении (12 + 8) : 4 сначала находят сумму в скобках. Скобки помогают явно выделить часть выражения, которую нужно рассматривать как самостоятельную.

Как это устроено

Единый порядок действий нужен для того, чтобы одну запись все вычисляли одинаково. Если каждый выбирал бы действия по своему желанию, выражение могло бы иметь несколько результатов. Поэтому правила порядка действий работают как общий язык математики.

Действия в скобках выполняют первыми, потому что скобки выделяют часть выражения в отдельный блок. Сначала этот блок превращают в одно число, а затем используют полученный результат в остальных действиях. Так выражение (9 + 3) · 2 сначала заменяется на 12 · 2.

Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания, потому что они образуют более тесное сочетание чисел. Такое правило позволяет записывать вычисления короче, не ставя скобки вокруг каждого произведения или частного. Например, запись 5 + 4 · 2 однозначно означает 5 + (4 · 2), а не (5 + 4) · 2.

Если действия имеют один уровень, их выполняют слева направо, в порядке записи. Это особенно важно для нескольких умножений и делений или нескольких сложений и вычитаний. Например, 48 : 6 · 2 сначала превращают в 8 · 2, потому что деление стоит левее умножения.

При нескольких скобках начинают с самых внутренних, а затем переходят к внешним. Внутреннее выражение нужно вычислить первым, иначе значение внешних скобок ещё неизвестно. После исчезновения скобок оставшиеся действия выполняют по обычным правилам приоритета и движения слева направо.

Порядок выполнения действий в числовом выражении

Чтобы пользоваться таблицей, сначала найдите скобки и определите, есть ли среди них вложенные. Затем выполните умножение и деление слева направо, а после этого сложение и вычитание. Если действий одного уровня несколько, не выбирайте их произвольно: двигайтесь от левого края выражения к правому.

Разбор задач

Задача 1. Вычислить значение выражения 18 − 6 : 3 + 4 · 2. Скобок нет, поэтому сначала ищем умножение и деление. Только после них выполняем оставшиеся действия слева направо.

1. Выполняем деление и умножение: 6 : 3 = 2, 4 · 2 = 8.
2. Получаем выражение 18 − 2 + 8.
3. Выполняем действия слева направо: 18 − 2 = 16, 16 + 8 = 24.

Ответ: 24. Мы не складывали 18 и 4 раньше умножения, потому что это нарушило бы порядок действий.

Задача 2. Вычислить значение выражения (35 − 11) : 4 + 3 · 5. Сначала нужно обработать скобки, поскольку они задают самый высокий приоритет. Затем выполняются деление и умножение, а последним — сложение.

1. Вычисляем разность в скобках: 35 − 11 = 24.
2. Получаем 24 : 4 + 3 · 5.
3. Выполняем деление и умножение: 24 : 4 = 6, 3 · 5 = 15.
4. Складываем результаты: 6 + 15 = 21.

Ответ: 21. Каждое следующее действие выполняется уже с результатом предыдущего шага, поэтому выражение постепенно упрощается.

Задача 3. Вычислить значение выражения 72 : (18 − (6 + 3)) · 2 − 5. Здесь есть вложенные скобки, поэтому начинать нужно с выражения 6 + 3. После раскрытия скобок остаются действия разных уровней.

1. Внутренние скобки: 6 + 3 = 9.
2. Внешние скобки: 18 − 9 = 9.
3. Получаем 72 : 9 · 2 − 5.
4. Деление и умножение выполняем слева направо: 72 : 9 = 8, 8 · 2 = 16.
5. Вычитаем 5: 16 − 5 = 11.

Ответ: 11. Если бы внешнее действие начали выполнять до внутренних скобок, значение промежуточного выражения ещё не было бы определено.

Типичные ошибки

Выполнение действий строго слева направо без учёта приоритета. Так ученик может начать со сложения, хотя левее или правее есть умножение. Проверьте себя: сначала выделите скобки, затем отметьте все умножения и деления.

Выполнение сложения раньше умножения. Ошибка появляется, когда выражение читают как обычную цепочку слов. Сравните порядок с правилом: в записи 3 + 5 · 2 сначала должно получиться 3 + 10.

Нарушение правила слева направо при нескольких умножениях или делениях. Нельзя самостоятельно выбирать более удобное действие, если операции имеют одинаковый приоритет. Найдите первое такое действие слева и убедитесь, что именно его выполнили первым.

Неправильная работа со скобками. Иногда начинают с внешнего действия или переходят к вложенным скобкам не изнутри. Проверьте запись: сначала должна исчезнуть самая внутренняя пара скобок, затем следующая.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уверенно знать таблицу сложения и умножения, правила арифметических действий и назначение скобок. Эти знания позволяют сосредоточиться именно на последовательности вычислений.

Порядок действий используется при нахождении значений числовых и буквенных выражений. В буквенном выражении вместо некоторых чисел стоят переменные, но правила вычислений сохраняются.

Эти правила нужны при решении уравнений, работе с формулами и преобразовании алгебраических выражений. Правильная последовательность помогает не потерять смысл записи и получить верный результат.

Что запомнить

• Скобки задают действия, которые выполняются прежде всего.
• Без скобок сначала выполняют умножение и деление.
• Сложение и вычитание выполняют после умножения и деления.
• Действия одного уровня выполняют слева направо.
• Во вложенных скобках начинают с самых внутренних.
• Результат выполнения всех действий называют значением выражения.