"Математика", Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др. / Под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф.
Степень числа — удобная краткая запись произведения одинаковых множителей. В записи aⁿ число a называют основанием, а n — показателем: он показывает, сколько раз основание повторяется множителем. Степени помогают быстро записывать и вычислять большие произведения. Нужно научиться читать степень, разворачивать её в произведение и находить значение. Особые названия имеют вторая и третья степени — квадрат и куб числа.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степень числа — произведение нескольких одинаковых множителей, записанное кратко. Например, 4 · 4 · 4 можно записать как 4³. Такая запись нужна, чтобы не повторять длинное произведение и сразу видеть число одинаковых множителей.
Основание степени — число, которое повторяется в произведении. В записи 7⁴ основание — 7, потому что именно число 7 четыре раза становится множителем. Основание помогает понять, какое число нужно повторять.
Показатель степени — число, показывающее, сколько одинаковых множителей взято. В записи 7⁴ показатель — 4: произведение имеет вид 7 · 7 · 7 · 7. По показателю можно правильно развернуть степень.
Квадрат и куб числа — соответственно вторая и третья степени числа. Квадратом называют a², потому что площадь квадрата со стороной a равна a · a; кубом называют a³, потому что объём куба с ребром a равен a · a · a. Эти названия связывают вычисления с геометрическими фигурами.
Степень удобна, когда один и тот же множитель повторяется несколько раз. Вместо записи 4 · 4 · 4 можно написать 4³: нижнее число показывает, какое число повторяется, а верхнее — сколько раз. Короткая запись занимает меньше места и помогает быстро определить структуру произведения.
Запись aⁿ читают «а в энной степени». Буква или число a — основание, маленькое число справа сверху n — показатель. Чтобы развернуть степень, основание записывают множителем n раз: a⁴ = a · a · a · a.
Показатель отвечает именно за количество множителей. Поэтому 3⁴ означает четыре тройки, перемноженные между собой, а не 3 · 4. Такое различие нужно проверять каждый раз: сначала посмотрите на основание, затем посчитайте, сколько раз оно должно встретиться.
При показателе 1 получается один множитель, поэтому a¹ = a. Вторая степень называется квадратом: a² = a · a. Третья степень называется кубом: a³ = a · a · a.
Вычисление выполняют в два шага. Сначала степень заменяют произведением одинаковых множителей, ориентируясь на показатель, затем считают это произведение. Например, 2⁴ = 2 · 2 · 2 · 2 = 16.
В таблице сначала найдите основание и показатель, а затем посмотрите, как степень раскрывается в произведение. Строка с показателем 1 показывает особый случай: один множитель равен самому основанию. Последний столбец содержит уже найденное значение степени.
| Запись | Чтение | Произведение одинаковых множителей | Значение |
|---|---|---|---|
| 5¹ | пять в первой степени | 5 | 5 |
| 3² | три в квадрате | 3 · 3 | 9 |
| 2³ | два в кубе | 2 · 2 · 2 | 8 |
| 2⁴ | два в четвёртой степени | 2 · 2 · 2 · 2 | 16 |
Задача 1. Запишите произведение 7 · 7 · 7 · 7 в виде степени и назовите её основание и показатель.
Ответ: 7 · 7 · 7 · 7 = 7⁴; основание — 7, показатель — 4.
Задача 2. Вычислите 6² и 2³.
Ответ: 6² = 36, 2³ = 8.
Задача 3. Сравните 3⁴ и 3 · 4, затем найдите значение каждого выражения.
Ответ: 3⁴ = 81, 3 · 4 = 12, поэтому 3⁴ > 3 · 4.
Ошибка 1. Вычислять 3⁴ как 3 · 4. Так происходит, если принять показатель за второй множитель, но он обозначает количество троек. Проверка: разверните степень — должно получиться 3 · 3 · 3 · 3.
Ошибка 2. Записывать 5 · 5 · 5 как 5 · 3. В таком случае одинаковые множители не объединены в степень, а их количество ошибочно превращено в множитель. Правильная краткая запись — 5³.
Ошибка 3. Считать, что в 4² основание равно 2. Число, написанное снизу, является основанием, поэтому здесь основание 4, а показатель 2. Самопроверка: 4² должно раскрываться как 4 · 4.
Ошибка 4. При раскрытии 2³ записывать только 2 · 2. Показатель 3 требует трёх одинаковых множителей, а не двух. Сосчитайте множители после раскрытия: 2³ = 2 · 2 · 2.
До изучения степеней нужно уметь умножать натуральные числа и узнавать произведения одинаковых множителей. Эти навыки помогают правильно раскрывать степень и находить её значение. Если основание или показатель прочитаны неверно, дальнейшее вычисление тоже будет ошибочным.
Степени пригодятся при изучении порядка действий и вычислений с большими числами. Короткая запись позволяет не переписывать длинные произведения. При решении выражений важно понимать, где стоит степень и как её вычислить.
Позже степени встретятся в формулах, задачах на площади и объёмы, а также в алгебре. Квадрат связан с площадью, а куб — с объёмом. Умение различать основание и показатель станет основой для новых правил.
Что показывает показатель степени?
Показатель показывает, сколько одинаковых множителей содержится в произведении. Например, в 7³ показатель 3 означает три множителя 7: 7 · 7 · 7.
Как развернуть степень в произведение?
Нужно взять основание столько раз, сколько показывает показатель, и соединить множители знаками умножения. Например, 4⁵ = 4 · 4 · 4 · 4 · 4.
Почему 3⁴ — это не 3 · 4?
Показатель не умножают на основание. Он сообщает, сколько множителей 3 нужно записать: 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81.
Как называются вторая и третья степени числа?
Вторая степень называется квадратом числа: a² = a · a. Третья степень называется кубом числа: a³ = a · a · a.
Чему равна степень с показателем 1?
Степень с показателем 1 равна своему основанию: a¹ = a. В произведении находится только один множитель, поэтому умножать ничего дополнительно не нужно.
3.4. Степень числа
