"Математика в 2-х частях (изд. «Ювента»)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Степень числа — короткая запись произведения нескольких одинаковых множителей. Например, вместо 4 · 4 · 4 можно написать 4³: число 4 повторяется три раза. Такая запись помогает не выписывать длинные произведения и удобна в вычислениях. В записи aⁿ число a называют основанием, а n — показателем: он показывает, сколько одинаковых множителей нужно взять. Вторая степень называется квадратом, третья — кубом; эти названия связаны с вычислением площади квадрата и объёма куба.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степень числа — это произведение нескольких одинаковых множителей. Например, 4³ означает произведение 4 · 4 · 4. Такая запись удобна, когда одно и то же число нужно умножить само на себя несколько раз.
Основание степени — число, которое повторяется множителем в записи степени. В выражении aⁿ основание — a, а в записи 5³ основание равно 5. Чтобы понять, какое число нужно повторять при раскрытии степени, сначала находят основание.
Показатель степени — число, которое показывает, сколько раз основание взято множителем. В записи 5³ показатель равен 3, значит, произведение состоит из трёх пятёрок: 5 · 5 · 5. Показатель помогает определить число повторений, а не указывает, на что нужно умножить основание.
Квадрат числа — его вторая степень, а куб числа — его третья степень. Поэтому a² читают «а в квадрате» и раскрывают как a · a, а a³ читают «а в кубе» и раскрывают как a · a · a. Эти специальные названия часто встречаются в задачах о площади и объёме.
Запись степенью заменяет произведение одинаковых множителей: 4 · 4 · 4 = 4³. Чтобы выбрать показатель, нужно сосчитать множители, а основанием станет число, которое во всех них повторяется. Здесь три множителя по 4, поэтому основание — 4, а показатель — 3. Если множителей станет больше, такая запись всё равно останется короткой и понятной.
В записи aⁿ основание и показатель выполняют разные роли: основание сообщает, какое число повторять, а показатель — сколько раз его взять. Например, в 2⁴ основание 2 нужно записать четыре раза, получив 2 · 2 · 2 · 2. Показатель не является дополнительным множителем, потому что он отвечает за количество повторений. Если умножить 2 на 4, получится совсем другое выражение — 2 · 4.
Квадрат числа связан с площадью квадрата: чтобы найти площадь, длину стороны умножают на такую же длину. Если сторона равна a, площадь равна a · a, или a². Куб числа связан с объёмом куба: его длину, ширину и высоту можно представить тремя одинаковыми рёбрами длины a. Поэтому объём равен a · a · a, то есть a³.
Чтобы вычислить степень, сначала выясни, сколько множителей нужно взять, затем запиши их и выполни умножение. Например, для 2³ нужны три двойки: 2 · 2 · 2 = 4 · 2 = 8. Нельзя остановиться после двух множителей: тогда получилось бы 2², а не 2³. Такой порядок действий помогает не потерять и не добавить множитель.
Степень и произведение основания на показатель — разные выражения. Сравним 3⁴ и 3 · 4: первое означает четыре множителя, равных 3, а второе — только один множитель 3 и один множитель 4. Поэтому 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81, тогда как 3 · 4 = 12. Для проверки всегда раскрывай степень в виде повторяющегося умножения.
| Запись | Название | Повторяющееся умножение | Пример вычисления |
|---|---|---|---|
| a² | Квадрат числа | a · a | 5² = 5 · 5 = 25 |
| a³ | Куб числа | a · a · a | 2³ = 2 · 2 · 2 = 8 |
| aⁿ | Степень числа | n множителей, равных a | 2⁴ = 2 · 2 · 2 · 2 = 16 |
В таблице сначала найди запись степени, а затем посмотри, как она раскрывается в произведение. По числу повторяющихся множителей можно проверить показатель, а по самому повторяющемуся числу — основание. Примеры в последнем столбце показывают, как после раскрытия выполнить вычисление.
Нужно представить короткой записью произведение одинаковых множителей. Сначала проверим, какое число повторяется, затем сосчитаем, сколько раз оно записано. Эти два наблюдения определят основание и показатель.
Ответ: 7 · 7 · 7 = 7³; основание степени — 7, показатель — 3. Проверка показывает, что при раскрытии записи получаются ровно три семёрки. Показатель не означает, что 7 нужно умножить на 3.
В каждой записи основание нужно повторить столько раз, сколько указывает показатель. Для 4³ это три четвёрки, а для 3⁴ — четыре тройки. Сначала раскроем обе степени, а затем будем умножать по порядку.
Ответ: 4³ = 64, 3⁴ = 81. Во втором примере показатель равен 4, поэтому тройка повторяется четыре раза. Если бы мы вычислили 3 · 4, получили бы 12, но это не значение степени 3⁴.
Площадь квадрата находят умножением длины стороны на саму себя. Значит, число 6 нужно взять множителем два раза, а такую запись можно заменить квадратом числа 6. Поскольку сторона измерена в метрах, площадь будет выражена в квадратных метрах.
Ответ: площадь площадки равна 6² = 36 м². Показатель 2 здесь соответствует двум одинаковым измерениям стороны при вычислении площади. Единицы тоже возводятся в квадрат: результат записывают в квадратных метрах, а не просто в метрах.
Ошибка — вычислять aⁿ как a · n, например считать, что 3⁴ = 3 · 4. Так делают, если принять показатель за обычный множитель, но он показывает число повторений основания. Чтобы проверить себя, раскрой степень: 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81, а 3 · 4 = 12.
Иногда путают основание и показатель: в записи 5³ называют основанием число 3. Это происходит, когда не замечают, что маленькая цифра сверху лишь считает множители. Проверка простая: при раскрытии степени число в основании повторяется, поэтому 5³ — это 5 · 5 · 5.
Можно записать неверное число множителей, например принять 2⁴ за произведение трёх двоек. Такая ошибка возникает, если сосчитать промежутки или не сверить произведение с показателем. Запиши множители по одному и проверь их количество: 2⁴ = 2 · 2 · 2 · 2, всего четыре двойки.
Квадрат числа иногда ошибочно понимают как умножение числа на 2. Путаница появляется из-за слова «квадрат», но оно обозначает вторую степень: a² = a · a. Для проверки сравни записи: 5² = 5 · 5 = 25, а 5 · 2 = 10, поэтому это разные действия.
До изучения степеней нужно уметь умножать натуральные числа и распознавать произведения одинаковых множителей. Эти навыки нужны, чтобы раскрывать запись степени и находить её значение. Например, знание таблицы умножения помогает быстро вычислить 2³ или 5².
Степени пригодятся для короткой записи длинных произведений, а также при вычислении площадей и объёмов. Позднее эта тема поможет разбирать свойства степеней и научную запись чисел. Поэтому умение различать основание и показатель понадобится и в новых разделах математики.
Что показывает показатель степени?
Показатель показывает, сколько раз основание входит множителем в произведение. Например, в 2⁴ четыре множителя, равных 2.
Как определить основание степени?
Основание — число, которое повторяется в произведении. В записи 5³ основание равно 5, а в произведении это три одинаковые пятёрки.
Чем 3⁴ отличается от 3 · 4?
В 3⁴ число 3 умножается само на себя четыре раза: 3 · 3 · 3 · 3 = 81. В выражении 3 · 4 перемножаются два разных числа, и результат равен 12.
Почему a² называют квадратом числа?
a² означает a · a, то есть вторую степень числа a. Если сторона квадрата равна a, его площадь равна a · a, поэтому такую степень связывают с квадратом.
Как записать произведение одинаковых множителей степенью?
Нужно указать повторяющееся число в основании, а количество одинаковых множителей — в показателе. Например, 7 · 7 · 7 = 7³.
4. Степень числа
