"Математика в 2-х частях (изд. «Ювента»)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Распределительное свойство помогает умножать сумму или разность на число по частям. С его помощью выражение со скобками превращается в более простой пример, а длинное сложение заменяется коротким умножением. Похожие правила действуют при делении суммы или разности, если каждое слагаемое делится нацело. Главное — правильно раскрывать скобки, сохранять знак вычитания и выбирать удобное разложение числа.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Распределительное свойство умножения означает: произведение суммы или разности на число равно сумме или разности произведений каждого слагаемого на это число. Например, (a + b) · c = a · c + b · c. Это правило помогает раскрывать скобки и считать выражения по частям.
Деление суммы на число — это деление каждого слагаемого на один и тот же делитель с последующим сложением результатов. Запись имеет вид: (a + b) : c = a : c + b : c. Правило удобно применять, когда оба слагаемых делятся на c нацело.
Деление разности на число означает, что уменьшаемое и вычитаемое можно разделить на один делитель, а затем вычесть полученные частные: (a − b) : c = a : c − b : c. Оба деления должны выполняться нацело. Это позволяет упростить разность перед вычислением.
Вынесение общего множителя за скобки — обратное применение распределительного свойства. В выражении a · c + b · c одинаковый множитель c заменяют записью (a + b) · c. Такой приём сокращает длинное сложение или вычитание и делает вычисление быстрее.
Умножение числа на сумму означает, что нужно взять несколько одинаковых групп, каждая из которых состоит из двух частей. Например, 3 · (4 + 2) — это три группы по 4 и по 2. Поэтому можно отдельно посчитать 3 · 4 и 3 · 2, а затем сложить результаты: 3 · (4 + 2) = 3 · 4 + 3 · 2.
Из этого рассуждения получается распределительное свойство: множитель как бы распределяется между всеми слагаемыми в скобках. Нельзя умножить только первое слагаемое, потому что тогда в результате пропадёт часть исходных групп. Поэтому в записи (a + b) · c число c обязательно умножается и на a, и на b.
Для разности действует тот же принцип, только одна часть вычитается из другой. Если каждую из двух частей умножить на одно и то же число, их соотношение не изменится: (a − b) · c = a · c − b · c. Знак минус после раскрытия скобок сохраняется, потому что второе произведение по-прежнему вычитается из первого.
Деление суммы по частям можно проверить обратным действием, умножением. Если a : c и b : c существуют, то сумма этих частных после умножения на c даст a + b. Поэтому (a + b) : c = a : c + b : c, но только тогда, когда оба деления выполняются нацело. Для разности проверка устроена так же: разность частных после умножения на делитель возвращает исходную разность.
Вынесение общего множителя работает в обратную сторону. Сначала находят число, которое повторяется в каждом слагаемом, затем оставляют в скобках множители, которые были рядом с ним. Такой приём особенно полезен, когда сумма внутри скобок получается круглой: 48 · 19 + 52 · 19 = (48 + 52) · 19. Свойство не меняет значение выражения, а только выбирает более удобный порядок действий.
| Свойство | Запись | Условия применения | Пример |
|---|---|---|---|
| Умножение суммы на число | (a + b) · c = a · c + b · c | Можно применять всегда | 5 · (8 + 2) = 5 · 8 + 5 · 2 |
| Умножение разности на число | (a − b) · c = a · c − b · c | Можно применять всегда | 4 · (10 − 3) = 4 · 10 − 4 · 3 |
| Деление суммы на число | (a + b) : c = a : c + b : c | a и b делятся на c нацело | (24 + 18) : 6 = 24 : 6 + 18 : 6 |
| Деление разности на число | (a − b) : c = a : c − b : c | a и b делятся на c нацело | (42 − 18) : 6 = 42 : 6 − 18 : 6 |
| Вынесение общего множителя | a · c + b · c = (a + b) · c; a · c − b · c = (a − b) · c | В каждом слагаемом есть общий множитель | 8 · 7 + 2 · 7 = (8 + 2) · 7 |
Сначала определи, какое действие записано в выражении: умножение, деление или вынесение общего множителя. Затем проверь условия применения и выбери ту форму записи, которая уменьшает число действий. Результат можно проверить вычислением исходного и преобразованного выражений.
Условие. Вычисли 7 · (20 + 3), используя дополнительное свойство умножения. В скобках стоит сумма, поэтому множитель 7 можно распределить между двумя слагаемыми. Это позволит заменить одно умножение на сумму двух простых произведений.
Ответ: 161.
Условие. Вычисли 936 : 6, представив 936 в виде суммы удобных слагаемых. Нужно подобрать такие слагаемые, которые делятся на 6 без остатка. Подойдёт разложение 936 = 900 + 36, потому что оба числа удобно разделить на 6.
Ответ: 156. Проверка: 156 · 6 = 936, значит, вычисление выполнено верно.
Условие. Вычисли 48 · 19 + 52 · 19 удобным способом. В обоих произведениях повторяется множитель 19, поэтому его можно вынести за скобки. После этого останется сложить числа 48 и 52.
Ответ: 1900. Такой способ удобнее прямого сложения двух больших произведений.
При умножении суммы иногда умножают число только на первое слагаемое: 7 · (20 + 3) превращают в 7 · 20. Так пропадает второе слагаемое и результат становится меньше. Проверь себя: после раскрытия скобок множитель должен встретиться с каждым слагаемым.
При умножении разности можно потерять знак вычитания и записать сумму двух произведений. Ошибка возникает, если механически раскрывать скобки и не следить за смыслом выражения. Сравни запись с правилом: второе произведение после раскрытия остаётся вычитаемым.
Иногда сумму делят по частям, хотя одно слагаемое не делится нацело. Такое преобразование нельзя выполнять без проверки делимости обоих слагаемых на один делитель. Перед вычислением раздели каждое слагаемое мысленно или проверь его остаток.
При вынесении общего множителя за скобки могут сложить или вычесть сами множители вместо оставшихся чисел. Например, в 48 · 19 + 52 · 19 за скобками должно остаться 19, а внутри — 48 + 52. Проверь себя обратным раскрытием скобок и убедись, что получилась исходная запись.
До изучения этих свойств нужны знания о сложении и умножении, таблица умножения и порядок действий. Без них трудно правильно раскрывать скобки, считать произведения и понимать, какое действие выполнять первым. Полезно также уверенно различать сумму, разность, произведение и частное.
Распределительное свойство пригодится при устных вычислениях и преобразовании числовых выражений. Позже тот же приём будет использоваться с буквами и станет основой работы с алгебраическими выражениями. Умение выносить общий множитель помогает быстро упрощать длинные записи.
Зачем умножать каждое слагаемое в скобках?
Так сохраняется значение всей суммы или разности. Например, 7 · (20 + 3) можно заменить выражением 7 · 20 + 7 · 3 и вычислить его по частям.
Можно ли разделить сумму на число по частям?
Можно, если каждое слагаемое суммы делится на это число нацело. Например, (24 + 18) : 6 = 24 : 6 + 18 : 6.
Когда можно вынести общий множитель за скобки?
Это делают, когда в каждом слагаемом есть одинаковый множитель. Его записывают перед скобками, а оставшиеся множители складывают или вычитают внутри скобок.
Что делать, если одно слагаемое не делится нацело?
Нельзя применять деление суммы по частям в таком виде. Нужно выбрать другое разложение числа или выполнить деление обычным способом.
Как выбрать, какое число разложить на сумму?
Разлагай число так, чтобы все получившиеся слагаемые делились на нужное число или легко умножались. Например, 936 удобно представить как 900 + 36, потому что оба слагаемых делятся на 6.
5. Дополнительные свойства умножения и деления
