"Математика (в 2 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Дополнительные свойства умножения и деления помогают по-другому записывать выражения и выбирать удобный порядок вычислений. Число можно умножить на частное через делимое и делитель, разделить на произведение по очереди на его множители, а деление на частное заменить умножением и делением. Эти правила сокращают вычисления, но требуют соблюдать порядок действий и проверять, можно ли выполнить деление нацело.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Умножение числа на частное: a · (b : c) = (a · b) : c. Чтобы найти произведение числа и частного, можно умножить число на делимое, а результат разделить на делитель. Такое преобразование помогает избежать неудобного деления внутри скобок.
Деление числа на произведение: a : (b · c) = a : b : c. Число можно разделить сначала на один множитель, затем на другой, если оба действия выполняются нацело. Правило удобно, когда произведение в скобках делить сразу трудно.
Деление числа на частное: a : (b : c) = a · c : b. Нужно умножить делимое на делитель частного и разделить результат на делимое частного. Это превращает деление на дробное или неудобное частное в более понятные действия.
Деление частного на число: (a : b) : c = a : (b · c). Чтобы разделить частное на число, можно умножить исходный делитель на это число. Так два последовательных деления заменяются одним делением на произведение.
Рассмотрим умножение числа на частное. Частное b : c показывает, сколько раз величина c содержится в b. Если взять это количество a раз, получится столько же, сколько при умножении a на b и последующем делении результата на c: a · (b : c) = (a · b) : c. Например, 6 · (20 : 4) = 6 · 5 = 30, и (6 · 20) : 4 = 120 : 4 = 30.
Деление на произведение можно понять через смысл деления. Если b · c предметов распределить поровну, сначала можно разделить общее количество на b равных частей, а затем каждую полученную часть — на c. Поэтому a : (b · c) = a : b : c. Такой порядок допустим, когда сначала получается целое число и второе деление тоже возможно.
Чтобы понять деление на частное, вспомним связь деления с умножением. Разделить a на число b : c — значит найти такое число, которое при умножении на b : c даст a. Умножение этого неизвестного числа на c и деление на b приводят к тому же результату, поэтому a : (b : c) = a · c : b.
Частное a : b показывает результат деления a на b. Если этот результат разделить ещё на c, то общее число a фактически разделится сначала на b, а затем на c. Два последовательных деления можно объединить: (a : b) : c = a : (b · c). Выбирая свойство, сравнивайте варианты действий и оставляйте тот, где появляются удобные числа; ответ можно проверить обратным умножением.
| Свойство | Запись | Как преобразовать | Условия применения |
|---|---|---|---|
| Умножение числа на частное | a · (b : c) = (a · b) : c | Умножить на делимое, затем разделить на делитель | c ≠ 0; действия имеют смысл |
| Деление числа на произведение | a : (b · c) = a : b : c | Последовательно разделить на оба множителя | Деления допустимы; обычно выполняются нацело |
| Деление числа на частное | a : (b : c) = a · c : b | Умножить на делитель частного и разделить на его делимое | b ≠ 0, c ≠ 0; выражения определены |
| Деление частного на число | (a : b) : c = a : (b · c) | Умножить исходный делитель на число | b ≠ 0, c ≠ 0; деление допустимо |
Сначала определите, какая часть выражения стоит в скобках: частное или произведение. Затем выберите запись, после которой действия станут проще.
Не забывайте сохранять порядок чисел при делении и проверять результат обратным действием.
Внутри скобок получается неудобное для натуральных чисел деление, поэтому применим свойство умножения на частное. Сначала объединим 48 и 25, а затем проверим, делится ли произведение на 6.
Ответ: 200.
Скобки содержат произведение, значит, число можно делить последовательно на множители. Выберем первым делителем 7: результат получится целым, а затем его удобно разделить на 12.
Ответ: 10.
В скобках находится частное, поэтому нельзя просто разделить 360 на 90 и умножить на 6: такой порядок изменил бы выражение. При делении на частное нужно умножить на его делитель 6 и разделить на его делимое 90.
Ответ: 24. Проверка: 90 : 6 = 15, а 360 : 15 = 24.
При делении на произведение иногда делят только на один множитель: a : (b · c) ошибочно заменяют на a : b. Так забывают вторую часть делителя. Проверьте, что выполнены два последовательных деления.
При делении на частное часто меняют местами делимое и делитель. Правильная запись a : (b : c) = a · c : b: сначала умножаем на c, затем делим на b. Для проверки найдите частное в скобках отдельно.
В выражении (a : b) : c некоторые умножают исходное делимое a на c. Нужно умножить исходный делитель b на c и получить a : (b · c). Сравните результат с двумя последовательными делениями.
Последовательное деление применяют, не проверив промежуточный результат. В натуральных числах, например, нельзя продолжить действие, если первое деление не даёт целого числа. Выполните проверку умножением и убедитесь, что делители не равны нулю.
Для этой темы нужны смысл умножения и деления, таблица умножения, порядок действий и связь деления с умножением. Эти знания позволяют понять не только запись правила, но и причину преобразования.
Свойства помогают быстрее выполнять устные и письменные вычисления, сокращать выражения и в дальнейшем преобразовывать буквенные выражения. Умение выбирать удобный порядок действий пригодится при решении задач.
Почему число можно разделить на произведение по очереди на каждый множитель?
Произведение множителей означает, что число сначала делят на один из них, а затем на другой. Например, 120 : (3 · 4) = 120 : 3 : 4 = 10, если оба деления выполняются нацело.
Как деление на частное превратить в более простое действие?
Деление на частное заменяют умножением на его делитель и делением на его делимое: a : (b : c) = a · c : b. Например, 360 : (90 : 6) = 360 · 6 : 90 = 24.
Можно ли менять местами числа при делении?
Нет, деление не обладает переместительным свойством. В выражении a : b нельзя без изменения результата заменить его на b : a.
Всегда ли можно применять эти свойства в натуральных числах?
Правило верно, если выражения имеют смысл и нужные деления допустимы. При последовательном делении в натуральных числах желательно, чтобы промежуточный результат делился нацело.
Как понять, какое свойство поможет вычислить выражение быстрее?
Посмотрите, можно ли получить удобное деление или умножение. Выбирайте преобразование, после которого появляются круглые числа и несложные действия, а затем проверьте ответ обратным действием.
5. Дополнительные свойства умножения и деления
