"Математика (в 2 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Высказывание — это предложение, про которое можно решить, истинно оно или ложно. Такие предложения помогают точно выражать условия задач и проверять рассуждения. Высказывания бывают простыми и составными: их соединяют словами «и», «или» или меняют с помощью слова «не». Чтобы определить истинность составного высказывания, нужно разобраться в каждой его части и помнить, как работают эти связки.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Высказывание — предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Например, «Число 8 чётное» — высказывание, потому что его можно проверить. Это понятие помогает отличать проверяемые утверждения от вопросов и просьб.
Истинное высказывание соответствует действительности, а ложное высказывание ей не соответствует. «Число 8 чётное» — истинное высказывание, а «Число 8 нечётное» — ложное. Это деление нужно, чтобы точно оценивать утверждения в задачах.
Отрицание высказывания — новое высказывание, которое утверждает, что исходное неверно. Например, отрицание фразы «Число 8 нечётное» — «Число 8 не является нечётным». Отрицание позволяет выразить противоположное утверждение и проверить, как меняется его истинность.
Составное высказывание образуют из простых с помощью слов «и», «или» или «не». Например, «Число 12 делится на 2 и на 3» объединяет два утверждения. Понятие составного высказывания помогает разбирать длинную фразу на части и проверять её по правилам.
Не всякое предложение можно назвать высказыванием. Вопрос «Сколько будет 12 : 3?» просит сообщить ответ, а команда «Откройте тетради» побуждает к действию. Ни вопросу, ни команде нельзя приписать истинность или ложность, поэтому высказываниями они не являются.
Простое высказывание проверяют по тому, что именно оно сообщает. Фразы «12 делится на 3» и «12 не делится на 3» отличаются смыслом, хотя обе короткие и построены похоже. Длинное предложение тоже может быть истинным или ложным, если его содержание можно проверить. Значит, важны не форма и длина, а смысл утверждения.
Чтобы получить отрицание, нужно выразить, что исходное утверждение неверно. Если утверждение истинно, его отрицание ложно; если оно ложно, отрицание истинно. Так происходит потому, что отрицание говорит ровно о противоположном: исходное утверждение и его отрицание не могут оказаться истинными одновременно или ложными одновременно. Например, если число 10 чётное, фраза «10 не является чётным» ложна.
Слово «и» требует, чтобы выполнялись обе части высказывания. Если одна часть ложна, всё высказывание с «и» ложно: например, для числа 14 фраза «14 делится на 2 и на 3» неверна, потому что на 3 оно не делится. У слова «или» другой смысл: достаточно выполнения хотя бы одного условия. Поэтому для 14 фраза «14 делится на 2 или на 3» истинна.
Составную фразу удобно сначала разделить на простые утверждения, а затем проверить каждое отдельно. В задаче могут быть заданы число, фигура или другое условие — именно с ним нужно сравнить содержание частей. После проверки применяют правило связки: для «и» нужны две истины, для «или» — хотя бы одна. Этот способ не даёт случайно принять всё составное высказывание за одно непонятное целое.
| Вид высказывания | Как образуется | Когда истинно |
|---|---|---|
| Простое высказывание | Сообщает одно утверждение | Когда утверждение соответствует действительности |
| Отрицание «не» | Утверждает, что исходное высказывание неверно | Когда исходное высказывание ложно |
| Составное высказывание со словом «и» | Соединяет два утверждения словом «и» | Когда истинны обе части |
| Составное высказывание со словом «или» | Соединяет два утверждения словом «или» | Когда истинна хотя бы одна часть |
Сначала найди в таблице вид высказывания, затем определи его части и связку. Проверь каждую часть по условию задачи и воспользуйся правилом из последнего столбца. Для простого высказывания достаточно проверить само утверждение.
Задача 1. Определите, какие из предложений «Число 12 делится на 3», «Сколько будет 12 : 3?», «Откройте тетради» являются высказываниями, и установите истинность подходящего высказывания.
Ответ: высказыванием является только «Число 12 делится на 3», оно истинно.
Задача 2. Составьте отрицание высказывания «Число 15 чётное» и определите истинность исходного высказывания и отрицания.
Ответ: отрицание — «Число 15 не является чётным»; исходное высказывание ложно, отрицание истинно.
Задача 3. Известно, что число n больше 10 и меньше 20. Проверьте высказывания «n делится на 2 и на 3» и «n делится на 2 или на 3» при n = 12 и n = 14.
Ответ: при n = 12 истинны оба высказывания; при n = 14 фраза с «и» ложна, а с «или» истинна.
Ошибка: считать вопрос или приказ высказыванием. Их легко принять за него, потому что это тоже законченные предложения. Но вопрос требует ответа, а приказ — действия, поэтому им нельзя приписать истинность или ложность. Проверь себя: можно ли ответить про эту фразу «это правда» или «это неправда»?
Ошибка: путать ложное высказывание с отрицанием. Ложное утверждение может просто сообщать неверный факт, а отрицание специально говорит, что другое утверждение неверно. Например, фраза «Число 8 нечётное» ложна, но не является отрицанием фразы «Число 8 делится на 4». Чтобы проверить себя, найди исходное утверждение, которое отрицается.
Ошибка: изменить одно слово и решить, что отрицание готово. Такая замена иногда не создаёт противоположного по смыслу утверждения или меняет содержание фразы. Сначала спроси себя, утверждает ли новая фраза, что исходная неверна. Затем проверь обе фразы на конкретном примере: истинность должна поменяться на противоположную.
Ошибка: требовать для «и» только одну истинную часть или для «или» сразу две. Эти связки легко перепутать, потому что в обычной речи их смысл не всегда замечают отдельно. Для проверки выпиши части: «и» истинно при двух истинных частях, а «или» — при одной или двух. Подставь пример, где истинна только одна часть, и проверь результат.
Чтобы рассуждать о высказываниях, нужно понимать обычные предложения и смысл слов в них. Также пригодится умение сравнивать числа и проверять простые арифметические утверждения, например делимость числа. Эти навыки помогают решить, соответствует ли высказывание условию.
Логические высказывания встречаются в текстовых и нестандартных задачах: нужно понять, какие условия выполняются одновременно, а какие — хотя бы по одному. Позже тот же способ рассуждения пригодится при изучении множеств и информатики. Умение разделять фразу на части помогает точно проверять условия и объяснять решение.
Любое ли предложение является высказыванием?
Нет. Вопросы и просьбы не бывают истинными или ложными, поэтому они не являются высказываниями. Например, «Сколько будет 2 + 3?» — вопрос, а «2 + 3 = 5» — высказывание.
Может ли одно и то же высказывание быть истинным в одной ситуации и ложным в другой?
Да, если его смысл зависит от неизвестного значения или ситуации. Например, высказывание «n больше 10» истинно при n = 12, но ложно при n = 8. После того как значение n задано, истинность можно проверить.
Как правильно составить отрицание высказывания?
Нужно сказать, что исходное утверждение неверно, сохранив его смысл. Например, отрицание высказывания «Число 8 нечётное» — «Число 8 не является нечётным», то есть «Число 8 чётное». Отрицание всегда имеет противоположное значение истинности.
Что означает слово «или» в математическом высказывании?
Обычно достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из двух условий. Например, фраза «число делится на 2 или на 3» истинна, если число делится на 2, на 3 или на оба числа сразу.
Как проверить истинность составного высказывания?
Раздели его на простые высказывания и проверь каждое отдельно. Для связки «и» должны быть истинны обе части, а для «или» — хотя бы одна. Затем примени это правило к полученным результатам.
§ 5. Еще немного логики.
