1. Равносильность предложений

Определения и обозначения

Предложение — повествовательное высказывание, про которое можно определить, истинно оно или ложно. Иначе говоря, это фраза, которую можно проверить, а не просто спросить о чём-то или попросить. Например, «Сумма чисел 2 и 3 равна 5» можно проверить по правилам сложения. Понятие предложения нужно, чтобы отличать математические утверждения от других фраз.

Истинное предложение — предложение, содержание которого соответствует действительности или математическим правилам. Например, утверждение «10 больше 4» истинно, потому что при сравнении чисел это действительно так. Проверка показывает, что утверждению можно доверять в рассуждении. Поэтому сначала выясняют содержание предложения, а не ориентируются на то, как уверенно оно звучит.

Ложное предложение — предложение, содержание которого не соответствует действительности или математическим правилам. Например, «8 меньше 3» — ложное утверждение: при сравнении чисел видно, что 8 больше 3. Это не значит, что фраза перестаёт быть предложением: её значение истинности просто не совпадает с действительностью. Понятие помогает распознавать утверждения, которые нужно исправить или не использовать как верные.

Равносильные предложения — предложения, которые имеют одинаковое значение истинности: оба истинны или оба ложны. Например, если два утверждения о числе оба верны, они равносильны, даже если сказаны разными словами. Для этого сравнения нужно знать значение истинности каждого предложения. Так можно проверить, совпадает ли математический смысл утверждений в важном отношении.

Как это устроено

Вопрос и приказ не считают математическими предложениями, потому что в них не утверждается, как обстоят дела. Фразу «Сколько будет 2 + 3?» можно произнести, но она просит дать ответ, а не сообщает результат. Приказ «Реши пример» тоже побуждает к действию и не говорит, верно ли какое-либо утверждение. Поэтому нельзя назвать вопрос или приказ истинным либо ложным.

Истинность зависит от того, что именно утверждает предложение, а не от его длины или уверенного тона. Проверим фразу «7 — нечётное число»: нечётное число не делится на 2 без остатка, и 7 этому условию соответствует. Значит, предложение истинно. А фраза «7 делится на 2» ложна, потому что при делении 7 на 2 остаётся остаток 1.

Два предложения могут быть сформулированы по-разному, но иметь одно и то же значение истинности. Сравним «12 делится на 3» и «12 — число, кратное 3». Делимость на 3 означает, что число можно представить как 3, умноженное на целое число; 12 = 3 · 4. Значит, оба утверждения истинны, хотя слова в них не совпадают.

Равносильность определяют не по похожести слов, а по истинности или ложности каждого предложения. Сначала нужно проверить первое утверждение, затем отдельно проверить второе. Если результаты одинаковы — оба истинны или оба ложны, — предложения равносильны. Если одно истинно, а другое ложно, они неравносильны.

Одинаковое значение истинности не означает, что предложения говорят об одном и том же или звучат одинаково. Например, «15 — простое число» и «15 делится на 2» сформулированы по-разному и описывают разные свойства числа. Первое утверждение ложно, потому что 15 делится на 3 и на 5; второе тоже ложно, потому что 15 нечётное. Поэтому предложения равносильны по значению истинности, но их формулировки не совпадают.

Предложения и их значение истинности

Пользуйся таблицей как памяткой: сначала определи, что утверждает фраза, затем проверь её истинность. Для сравнения двух предложений найди значение истинности каждого отдельно. Совпали результаты — предложения равносильны.

Разбор задач

Задача 1

Определите, истинны или ложны предложения: «7 — нечётное число» и «7 делится на 2». Проверять их нужно по отдельности, потому что каждое сообщает о числе своё свойство. Затем запишем результат для обоих утверждений.

1. Нечётное число при делении на 2 даёт остаток 1. Число 7 делится на 2 с остатком 1, поэтому первое предложение истинно.
2. При делении 7 на 2 получается 3 и остаток 1. Значит, на 2 без остатка 7 не делится, и второе предложение ложно.

Ответ: первое предложение истинно, второе ложно. Чтобы проверить вывод, можно разделить 7 на 2 и убедиться, что остаток не равен нулю. Значения истинности у двух предложений разные.

Задача 2

Сравните предложения «12 делится на 3» и «12 — число, кратное 3». Нужно выяснить, что означают слова «делится» и «кратное», а затем проверить утверждения на числе 12. Если оба окажутся истинными или оба ложными, они будут равносильны.

1. Проверим делимость: 12 : 3 = 4, остатка нет. Первое предложение истинно.
2. Число, кратное 3, получается умножением 3 на целое число. Так как 12 = 3 · 4, второе предложение тоже истинно.
3. Сравним результаты: оба предложения истинны. Следовательно, они равносильны.

Ответ: предложения равносильны. Они звучат по-разному, но утверждают, что число 12 связано с числом 3 через деление без остатка. Это и объясняет совпадение их истинности.

Задача 3

Даны предложения: «15 — простое число» и «15 делится на 2». Определите их истинность и выясните, равносильны ли они. Здесь недостаточно заметить, что одно число встречается в обеих фразах: нужно проверить каждое утверждение. После этого можно применить правило сравнения значений истинности.

1. Простое число имеет ровно два натуральных делителя: 1 и само число. У числа 15 есть делители 3 и 5, поэтому первое предложение ложно.
2. Проверим деление на 2: число 15 нечётное, значит, без остатка на 2 оно не делится. Второе предложение тоже ложно.
3. Сравним значения истинности: оба предложения ложны. Значит, по определению они равносильны.

Ответ: оба предложения ложны и равносильны. Они описывают разные свойства числа, но для равносильности важно только совпадение истинности. Проверка обоих утверждений не позволяет перепутать результат.

Типичные ошибки

Ошибка — считать вопрос или приказ истинным либо ложным. Так бывает, если любую фразу воспринимают как утверждение, хотя вопрос только просит ответ, а приказ побуждает к действию. Спроси себя: здесь сообщается факт, который можно проверить? Если нет, у фразы нет значения истинности.

Ошибка — объявлять предложения равносильными из-за одинаковых слов или чисел. Совпадение числа 7, например, ничего не говорит о том, верны ли утверждения «7 — нечётное» и «7 делится на 2». Чтобы не попасться на это, проверь содержание каждой фразы и установи её истинность. Слова могут совпадать, а результаты проверки — различаться.

Ошибка — думать, что равносильные предложения обязаны быть сформулированы одинаково. Это заблуждение появляется, когда равенство слов путают с равенством значения истинности. Сравни не фразы целиком, а ответы на вопрос «Истинно или ложно?». Разные формулировки могут выражать истинные утверждения одновременно.

Ошибка — проверять только одно предложение и по нему судить о равносильности пары. Даже если первое утверждение истинно, второе может оказаться ложным, поэтому одного результата недостаточно. Проверь себя: у тебя должны быть две отдельные отметки — для первого и для второго предложения. Только после этого сравни их и сделай вывод.

Связь с другими темами

До изучения темы полезно уметь понимать простые математические утверждения и проверять свойства чисел. Например, важно знать, как определить чётность и проверить, делится ли число на другое без остатка. Эти умения позволяют установить, истинно предложение или ложно. Без такой проверки нельзя надёжно сравнить пару утверждений.

Понятие равносильности пригодится при преобразовании выражений и решении уравнений. При преобразовании важно не потерять исходное условие и не заменить его на утверждение с другим значением истинности. Поэтому полезно проверять, сохраняется ли математический смысл. Навык сравнения истинности помогает замечать, когда два описания дают один и тот же результат.

Что запомнить

• Предложение — высказывание, которое может быть истинным или ложным.
• Вопросы и приказы не являются математическими предложениями.
• Предложение может быть истинным или ложным, но не тем и другим одновременно.
• Равносильные предложения имеют одинаковое значение истинности.
• Для проверки равносильности нужно определить истинность каждого предложения.
• Равносильные предложения не обязаны совпадать по формулировке.