2. Определения

Определения и обозначения

Определение — точная формулировка, раскрывающая содержание нового математического понятия. Иными словами, это объяснение, по которому можно понять, о каких объектах идёт речь. Оно нужно, чтобы все одинаково понимали математические слова и могли рассуждать без догадок.

Определяемое понятие — термин, смысл которого устанавливается в данном определении. Например, если мы объясняем, что такое отрезок, определяемое понятие — «отрезок». Его выделяют, чтобы видеть, какое именно слово сейчас раскрывают.

Родовое понятие — более общее понятие, к которому относится определяемый объект. Например, отрезок относится к геометрическим фигурам. Род помогает сначала указать, к какому большому классу принадлежит объект, и не спутать его с предметами совсем другого вида.

Видовое отличие — признак, выделяющий определяемый объект среди объектов того же рода. Если род — это широкая группа, то видовое отличие помогает выбрать в ней нужный вид. Без такого признака определение может подходить слишком многим объектам.

Как это устроено

Точные определения нужны потому, что математические рассуждения строятся на согласованном смысле слов. Если каждый понимает термин по-своему, один и тот же объект можно ошибочно отнести к разным группам. Пример не заменяет определение: он показывает только один случай, а понятие может охватывать множество объектов. Описание своими словами полезно для понимания, но оно тоже должно сохранять все необходимые признаки.

Обычно определение строят в два шага: сначала называют родовое понятие, затем видовое отличие. Например, можно сказать, что квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны: прямоугольник здесь задаёт род, равенство сторон — отличие. Такая последовательность помогает читателю сразу понять, среди каких объектов нужно искать нужный вид. Если начать с отличия без указания рода, формулировка может оказаться слишком неопределённой.

Определение должно быть однозначным, потому что по нему нужно одинаково распознавать объекты. Оно должно подходить каждому объекту данного вида, иначе часть объектов останется за пределами понятия. Одновременно оно не должно подходить лишним объектам, иначе границы понятия станут слишком широкими. Поэтому в точной формулировке собирают признаки, которые вместе дают нужную границу.

Проверить определение можно двумя вопросами: подходит ли оно каждому объекту понятия и не подходит ли посторонним объектам? Для этого мысленно подставь разные подходящие объекты, а затем — похожие, но не относящиеся к понятию. Если подходящий объект не проходит проверку, определение слишком узкое. Если посторонний проходит, формулировка слишком широкая.

Определение называют смысл объекта, а свойство сообщает о нём отдельный факт. Пример показывает один случай, название лишь называет предмет, а пояснение помогает разобраться, но может не перечислять точные признаки. Например, фраза «у прямоугольника противоположные стороны равны» сообщает свойство, но сама по себе не объясняет, что такое прямоугольник. Чтобы отличить эти виды высказываний, спроси себя: задаёт ли фраза признаки, позволяющие распознать все объекты понятия?

Строение математического определения

Пользуйся таблицей как планом разбора: сначала найди, что именно определяют, затем — род и видовое отличие. После этого проверь формулировку на подходящих и посторонних объектах. Так проще заметить, какого элемента не хватает или какой признак выбран неточно.

Разбор задач

1. Разберём определение отрезка

Условие. Укажи определяемое понятие, родовое понятие и видовое отличие в определении: «Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками». Нужно не просто разделить фразу на слова, а понять роль каждой части. Проверим это по схеме «что определяют, к какому роду относится, чем отличается».

1. Вопрос «что определяют?» приводит к слову «отрезок»: это определяемое понятие.
2. Часть прямой — родовое понятие: оно показывает, к какому объекту относится отрезок.
3. «Ограниченная двумя точками» — видовое отличие. Оно уточняет, какая именно часть прямой имеется в виду.
4. Соберём части: отрезок — часть прямой с указанным отличием. Это позволяет отличить его от прямой, которая не ограничена двумя точками.

Ответ. Определяемое понятие — отрезок, родовое понятие — часть прямой, видовое отличие — ограниченность двумя точками. Каждая часть отвечает на свой вопрос, поэтому формулировку можно разобрать последовательно. Если поменять местами роли частей, смысл определения станет труднее увидеть.

2. Проверим формулировку о прямоугольнике

Условие. Нужно решить, является ли правильным определением фраза «Прямоугольник — это фигура с четырьмя сторонами». На первый взгляд она называет подходящий признак: у прямоугольника действительно четыре стороны. Но определение должно не только подходить прямоугольнику, но и исключать посторонние фигуры.

1. Определяемое понятие — прямоугольник, а родовое понятие — фигура с четырьмя сторонами, то есть четырёхугольник.
2. Проверим, подходят ли посторонние объекты. Четыре стороны есть, например, у трапеции и у ромба, но такие фигуры не обязательно прямоугольники.
3. Значит, названного признака недостаточно: он не выделяет прямоугольник среди всех четырёхугольников.
4. Для определения нужно указать отличительный признак прямоугольника: у него все углы прямые.

Ответ. Нет, эта формулировка слишком широкая и не является точным определением прямоугольника. Она подходит и некоторым фигурам другого вида. Более точная формулировка: прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые.

3. Составим определение треугольника

Условие. Составь определение треугольника по схеме «родовое понятие + видовое отличие», затем проверь его примерами и контрпримером. Контрпример — это объект, который не относится к понятию, но помогает проверить границы определения. Сначала важно выбрать такое видовое отличие, которое не пропускает неподходящие фигуры.

1. Выберем род: треугольник относится к многоугольникам, то есть фигурам, составленным из отрезков.
2. Укажем отличие: у треугольника три стороны. Получим формулировку: «Треугольник — многоугольник с тремя сторонами».
3. Проверим примерами: у равностороннего и у разностороннего треугольников по три стороны, поэтому оба подходят.
4. Проверим контрпримером: четырёхугольник имеет четыре стороны, значит, определение его исключает.

Ответ. Треугольник — многоугольник с тремя сторонами. Формулировка подходит разным треугольникам и не подходит четырёхугольнику. Значит, выбранные род и видовое отличие помогают распознать объекты этого понятия.

Типичные ошибки

Подмена определения примером — частая ошибка: вместо признаков ученик называет один знакомый объект, например конкретный треугольник. Так делают, потому что примеры легко представить, но один случай не объясняет понятие целиком. Проверь себя: сможешь ли ты по названному примеру распознать другой объект того же вида? Если нет, нужно сформулировать общие признаки.

Слишком широкое определение включает посторонние объекты. Например, формулировка «прямоугольник — фигура с четырьмя сторонами» подходит не только прямоугольникам. Так бывает, когда указан признак рода, но забыто видовое отличие. Проверь формулировку на похожем объекте, который не относится к понятию.

Слишком узкое определение охватывает лишь часть объектов нужного вида. Например, назвать треугольником только фигуру с тремя равными сторонами — значит исключить треугольники с разными сторонами. Ошибка возникает, когда признак одного частного примера принимают за обязательный для всех. Проверь определение на нескольких объектах разной формы и размера.

Нельзя объяснять термин через него самого или использовать в определении слова, значение которых неизвестно. Например, фраза «отрезок — это отрезок прямой» не раскрывает понятие, а неизвестный термин не помогает разобраться. Такую ошибку допускают, когда считают знакомое слово достаточным объяснением. Проверь себя: понятно ли определение человеку, который ещё не знает определяемого понятия и всех слов в формулировке?

Связь с другими темами

Для работы с определениями полезно знать понятия точки, прямой, отрезка и фигуры, а также понимать, что признак — это свойство объекта. Эти знания помогают видеть, из каких объектов состоит род и что именно отличает один вид от другого. Дальше определения понадобятся при изучении новых геометрических объектов и чтении математических формулировок. Они связаны и с логикой: по признакам можно классифицировать объекты и доказывать утверждения.

Что запомнить

• Определение точно раскрывает содержание понятия.
• В определении выделяют определяемое понятие, род и видовое отличие.
• Родовое понятие называют более общий класс объектов.
• Видовое отличие выделяет объект среди объектов того же рода.
• Правильное определение не должно быть ни слишком широким, ни слишком узким.
• Пример, свойство и пояснение не заменяют определения.