1. Равносильность предложений

Определения и обозначения

Математическое предложение — утверждение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно. Например, «Число 8 делится на 2» — истинное предложение, а «5 больше 9» — ложное. Это понятие нужно, чтобы отличать проверяемые утверждения от просто записанных чисел и действий.

Предложение с переменной — математическое утверждение, истинность которого зависит от значения переменной. В записи x + 2 = 5 буква x может обозначать разные числа, поэтому равенство не всегда будет верным. Такое предложение позволяет описывать сразу много похожих случаев.

Решение предложения — значение переменной, при котором предложение становится истинным. Для предложения x + 2 = 5 это число 3, потому что после подстановки получается верное равенство 3 + 2 = 5. Поиск решений помогает узнать, какие значения подходят условию.

Равносильные предложения — предложения с одной и той же областью допустимых значений и одинаковыми решениями. Иными словами, они могут выглядеть по-разному, но подходят одни и те же значения. Это нужно, чтобы заменять сложное условие более удобным, не меняя его решений.

Как это устроено

Математическое предложение отличается от выражения тем, что сообщает утверждение. Запись 7 + 4 — это выражение: она обозначает число 11, но не говорит, верно это или неверно. Запись 7 + 4 = 11 уже является предложением, потому что её можно проверить. Вопрос «Сколько будет 7 + 4?» тоже не является предложением: он требует ответа, а не утверждает факт.

В предложении с переменной буква заменяет некоторое число, поэтому его истинность может изменяться. Например, в предложении x + 1 = 6 при x = 5 получается верное равенство, а при x = 2 — неверное. Проверка выполняется подстановкой: вместо буквы записывают выбранное значение и вычисляют обе части. После этого делают вывод «истинно» или «ложно».

Чтобы найти решения, сначала выясняют, какие значения разрешено использовать. Затем можно подставлять их по очереди и оставлять только те, при которых получается истинное предложение. Если значений много, удобнее рассуждать по смыслу: например, условие «x делится на 2» сразу подсказывает, что нужны чётные числа. Так находят не случайный пример, а все подходящие значения.

При сравнении предложений нельзя ограничиться одним значением переменной. Два разных условия могут оказаться истинными при одном числе, но различаться при другом. Поэтому нужно установить полные множества решений каждого предложения. Только совпадение всех решений позволяет сделать вывод о равносильности.

Сначала для каждого предложения определяют область допустимых значений, то есть числа, которые вообще можно рассматривать. Затем находят решения первого и второго предложения и сравнивают полученные множества. Если области допустимых значений одинаковы и множества решений совпадают, предложения равносильны. Если отличается хотя бы одно допустимое значение или хотя бы одно решение, равносильность не подтверждается.

Сравнение предложений и их решений

Пользуйся таблицей как последовательностью действий: сначала определи, есть ли переменная, затем установи допустимые значения. После этого выпиши все решения каждого предложения. Последний столбец заполняют только после полного сравнения множеств.

Разбор задач

Задача 1. Определим, является ли утверждение «Число 8 делится на 2» математическим предложением, и установим его истинность. Здесь нет переменной, поэтому достаточно проверить конкретное утверждение. Нужно выяснить, можно ли однозначно сказать, верно оно или нет.

1. Утверждение сообщает факт о числе 8, а не задаёт вопрос и не записывает отдельное выражение.
2. Проверим деление: 8 : 2 = 4, остатка нет.
3. Значит, утверждение верно, то есть является истинным математическим предложением.

Ответ: это математическое предложение, оно истинное. Его истинность не зависит от переменной, потому что переменной в нём нет.

Задача 2. Найдём решения предложения x + 2 = 5 при натуральных значениях x от 1 до 6. Область допустимых значений такова: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Проверим каждое значение или воспользуемся смыслом равенства.

1. Из равенства x + 2 = 5 следует, что x должен быть на 2 меньше числа 5.
2. Получаем x = 5 − 2 = 3.
3. Проверим найденное значение: 3 + 2 = 5, равенство верно, а число 3 входит в область допустимых значений.

Ответ: единственное решение — x = 3. Остальные числа от 1 до 6 после подстановки дают неверное равенство.

Задача 3. Сравним предложения «x — чётное число» и «x делится на 2» на множестве натуральных чисел. Область допустимых значений у обоих предложений одна и та же: все натуральные числа. Нужно проверить не один пример, а смысл обоих условий для любого натурального x.

1. Натуральное число называют чётным, если его можно представить в виде 2 · n, где n — натуральное число или ноль в зависимости от принятого определения.
2. Такое число делится на 2 без остатка, поэтому из чётности следует делимость на 2.
3. Если натуральное число делится на 2 без остатка, оно имеет вид 2 · n и является чётным.

Ответ: предложения равносильны на множестве натуральных чисел. Их множества решений совпадают: это все натуральные числа, делящиеся на 2 без остатка.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Выражение с переменной принимают за предложение. Так происходит, потому что в обеих записях встречаются числа, знаки действий и буквы. Проверь себя: если запись ничего не утверждает и нельзя сказать «истинно» или «ложно», это выражение, а не предложение.

Ошибка 2. Любое подставленное значение называют решением. Значение является решением только тогда, когда оно допустимо и после подстановки делает предложение истинным. Для проверки вычисли результат и убедись, что число входит в указанную область.

Ошибка 3. Равносильность проверяют на одном-двух значениях. Совпадение при отдельных числах показывает лишь, что оба предложения верны или оба ложны в этих случаях. Нужно найти все решения или доказать их совпадение рассуждением.

Ошибка 4. Не учитывают область допустимых значений. Одно условие может рассматриваться на натуральных числах, а другое — на целых, и тогда сравнение будет неправильным. Перед решением выпиши, какие значения разрешены для каждого предложения.

Связь с другими темами

До изучения равносильности нужно уметь подставлять значения в выражения и проверять равенства и неравенства. Эти действия помогают определить, истинно ли предложение при выбранном числе. Без аккуратной подстановки легко принять неверное значение за решение.

Понятия предложения и решения понадобятся при изучении уравнений и неравенств. Равносильные преобразования позволяют менять запись условия, сохраняя его решения. Поэтому при дальнейшей работе важно каждый раз проверять, не появились ли лишние решения и не исчезли ли подходящие.

Что запомнить

• Математическое предложение может быть истинным или ложным.
• Истинность предложения с переменной зависит от её значения.
• Решением называют допустимое значение переменной, при котором предложение истинно.
• Множество решений включает все решения предложения.
• Равносильные предложения имеют одинаковые множества решений при одной и той же области допустимых значений.