§ 5. Ещё немного логики.

Определения и обозначения

Высказывание — предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Например: «7 больше 5». Такой термин нужен, чтобы отделять проверяемые утверждения от вопросов и приказов.

Истинное высказывание согласуется с действительностью, а ложное высказывание ей не соответствует. Например, «2 + 3 = 5» — истинное, а «9 меньше 4» — ложное. Это помогает точно оценивать утверждения, а не судить о них по личному мнению.

Отрицание высказывания — высказывание с противоположным значением истинности. Его можно начать словами «неверно, что…» или составить с частицей «не»: «Число 6 не является нечётным». Отрицание нужно, чтобы выразить, что исходное утверждение неверно.

Сложное высказывание состоит из простых высказываний, соединённых словами «и» или «или». Например: «Число 8 чётное и больше 5». Сложные высказывания позволяют сразу учитывать несколько условий.

Простые высказывания часто обозначают буквами A и B. Тогда «A и B» и «A или B» — это записи сложных высказываний, а «не A» — запись отрицания. Такие обозначения делают рассуждение короче и понятнее.

Как это устроено

Сначала нужно отличить высказывание от обычного предложения. В утверждении уже сообщается факт, который можно проверить: «10 делится на 2». Вопрос «Делится ли 10 на 2?» требует ответа, а команда «Проверь деление» побуждает к действию, поэтому истинными или ложными их не называют.

Истинность проверяют по условию задачи, вычислению или известному факту. Например, равенство 4 + 3 = 7 можно проверить сложением, а утверждение о цвете предмета — наблюдением. При этом истинность не зависит от того, нравится ли нам утверждение: важна только его правильность.

Отрицание должно относиться ко всему исходному смыслу. Если A — «Число 9 делится на 3», то его отрицание: «Неверно, что число 9 делится на 3» или «Число 9 не делится на 3». У исходного высказывания и его отрицания значения истинности всегда разные.

Связка «и» требует выполнения обоих условий одновременно. Если A истинно, а B ложно, то утверждение «A и B» ложно, потому что одна часть не выполнена. Оно становится истинным только в случае, когда верны и A, и B.

Связка «или» в логике означает «хотя бы одно из условий». Поэтому «A или B» истинно, если истинно A, истинно B или истинны обе части сразу. Ложным оно будет только тогда, когда обе части ложны.

Истинность составных высказываний

Чтобы пользоваться таблицей, сначала найди строку с нужными значениями A и B. Затем посмотри на столбец соответствующей связки. Для «Не A» достаточно знать только значение A: отрицание меняет его на противоположное.

Обрати внимание: при связке «или» строка с двумя истинными частями тоже даёт истину. В логике это не обязательно выбор только одного варианта.

Разбор задач

Задача 1. Определи, какие предложения являются высказываниями: «7 больше 5», «Который час?», «Открой книгу». Нужно проверить, можно ли каждому предложению приписать истину или ложь. Одного знания правильного ответа для вопроса недостаточно: сам вопрос не утверждает факт.

1. «7 больше 5» — утверждение, его можно проверить, поэтому это высказывание.
2. «Который час?» — вопрос, а не утверждение, поэтому высказыванием не является.
3. «Открой книгу» — команда, её нельзя назвать истинной или ложной.

Ответ: высказывание только «7 больше 5»; вопрос и команда высказываниями не являются.

Задача 2. Дано высказывание «Число 12 делится на 3». Запиши его отрицание и определи истинность обоих высказываний. Сначала проверим деление, а затем изменим смысл всего утверждения на противоположный.

1. 12 : 3 = 4, значит, исходное высказывание истинно.
2. Отрицание: «Число 12 не делится на 3».
3. Так как 12 всё-таки делится на 3, отрицание ложно.

Ответ: исходное высказывание истинно, его отрицание «Число 12 не делится на 3» ложно.

Задача 3. A: «Число 8 чётное», B: «Число 8 больше 10». Определи истинность A, B, «A или B» и отрицания A. Сначала оцениваем простые части, затем применяем правило связки.

1. 8 делится на 2 без остатка, поэтому A истинно.
2. 8 не больше 10, поэтому B ложно.
3. «A или B» истинно: достаточно, что A истинно.
4. Отрицание A — «Число 8 нечётное»; оно ложно.

Ответ: A — истинно, B — ложно, A или B — истинно, не A — ложно.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать вопрос или команду высказыванием. Так происходит, когда ученик смотрит на наличие слов о факте, но забывает о форме предложения. Проверь себя: можно ли ответить «истинно» или «ложно» без изменения предложения?

Вторая ошибка — добавить частицу «не» к случайному слову и назвать результат отрицанием. Отрицать нужно весь смысл: сравни «Число 7 больше 3» и «Неверно, что число 7 больше 3». Проверь, изменилось ли значение истинности исходного утверждения на противоположное.

Третья ошибка — считать «A и B» истинным, когда верна только одна часть. Связка «и» требует выполнения двух условий одновременно. Проверь обе части отдельно: если хотя бы одна ложна, всё составное высказывание ложно.

Четвёртая ошибка — понимать «или» только как выбор одного варианта. В логике достаточно истинности хотя бы одной части, а истинность обеих тоже подходит. Ложным «A или B» бывает лишь при двух ложных частях.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно уметь читать предложения, понимать их смысл и проверять простые утверждения по известным фактам. Если условие прочитано неточно, определить истинность не получится.

Логические связки помогают в текстовых и занимательных задачах, где одновременно действуют несколько условий. Слова «и» и «или» подсказывают, какие условия должны выполняться вместе, а какие допускают разные варианты.

Истинность и отрицание становятся основой дальнейших логических рассуждений и доказательств. Умение проверить каждую часть помогает строить последовательное объяснение и находить ошибку.

Что запомнить

• Высказывание можно оценить как истинное или ложное.
• Вопросы и побуждения не являются высказываниями.
• Отрицание высказывания имеет противоположное значение истинности.
• Высказывание A и B истинно, только если истинны обе части.
• Высказывание A или B истинно, если истинна хотя бы одна часть.
• Чтобы определить истинность сложного высказывания, сначала установи истинность его частей.