4. Степень числа

Определения и обозначения

Степень числа — это запись произведения одинаковых множителей. Например, 5³ означает 5 · 5 · 5, а не отдельное действие между числами 5 и 3. Степени удобны, когда одно и то же число умножают несколько раз: короткая запись помогает не переписывать длинное произведение.

Основание степени — число, которое умножают само на себя. В записи aⁿ основание — это a; именно оно повторяется в произведении. Зная основание, можно понять, какое число будет стоять на каждом месте среди множителей.

Показатель степени показывает, сколько одинаковых множителей нужно перемножить. В записи aⁿ показателем служит n, поэтому aⁿ означает произведение n чисел, каждое из которых равно a. Показатель нужен, чтобы точно определить длину произведения и не спутать её с умножением основания на другое число.

Квадрат числа — степень с показателем 2, а куб числа — степень с показателем 3. Например, 4² = 4 · 4, а 2³ = 2 · 2 · 2. Названия связаны с геометрией: квадрат площади строят по двум одинаковым измерениям, а куб объёма — по трём.

Как это устроено

Если множители одинаковые, их можно заменить степенью: 5 · 5 · 5 = 5³. Основание здесь равно 5, потому что именно пятёрка повторяется, а показатель равен 3, потому что пятёрок три. Такая запись короче, но сохраняет всю информацию о произведении.

Показатель считают по числу множителей, потому что он отвечает на вопрос «сколько раз повторяется основание?». В выражении 4³ три четвёрки: 4 · 4 · 4. Если бы показатель означал число, на которое умножают основание, получилось бы 4 · 3, но это уже другое действие и другой результат.

Запись читают сначала по основанию, затем по показателю: 4⁵ — «четыре в пятой степени». Такое чтение помогает сразу назвать повторяющееся число и количество его повторений. Для показателей 2 и 3 используют особые названия: «в квадрате» и «в кубе».

Чтобы вычислить степень, сначала раскрывают её в произведение, а затем выполняют умножение. Например, 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 9 · 9 = 81. Запись произведения особенно полезна при вычислении: по ней видно, сколько раз нужно взять основание.

Степени 2³ и 3² дают разные результаты, потому что в них по-разному распределены основания и количество множителей. В 2³ основание 2 повторяется три раза: 2 · 2 · 2 = 8. В 3² основание 3 повторяется два раза: 3 · 3 = 9, поэтому результаты не равны.

Степени числа: запись и вычисление

В таблице показатель помогает определить число повторяющихся множителей, а основание — какое число нужно повторять. Найди строку с нужным показателем и прочитай соответствующее произведение. Затем умножь множители, чтобы получить значение степени.

Разбор задач

Задача 1. Запишите произведение 6 · 6 · 6 · 6 в виде степени и назовите её основание и показатель. Сначала найдём число, которое повторяется: это 6. Затем посчитаем множители: в произведении четыре шестёрки.

1. Повторяющийся множитель 6 записываем как основание.
2. Количество множителей равно 4, поэтому записываем показатель 4.
3. Получаем 6 · 6 · 6 · 6 = 6⁴; основание — 6, показатель — 4.

Ответ: 6⁴; основание 6, показатель 4. Проверка проста: раскрытая степень снова должна дать исходное произведение из четырёх шестёрок.

Задача 2. Вычислите 3² + 2³. Сначала не складываем основания или показатели: каждую степень нужно понять как отдельное произведение. После этого найдём значения степеней и сложим полученные числа.

1. Раскрываем степени: 3² = 3 · 3, а 2³ = 2 · 2 · 2.
2. Вычисляем: 3² = 9, 2³ = 8.
3. Складываем результаты: 9 + 8 = 17.

Ответ: 17. Мы вычислили каждую степень отдельно, потому что знак сложения относится уже к готовым значениям степеней.

Задача 3. Вычислите 2 · 3² + 2³. Здесь есть степень, умножение и сложение, поэтому важно соблюдать порядок действий. Сначала найдём степени, иначе легко принять показатель за множитель или начать сложение раньше времени.

1. Вычисляем степени: 3² = 3 · 3 = 9, 2³ = 2 · 2 · 2 = 8.
2. Подставляем значения: 2 · 9 + 8.
3. Сначала выполняем умножение: 2 · 9 = 18.
4. Складываем: 18 + 8 = 26.

Ответ: 26. Проверяя решение, убедись, что обе степени вычислены до умножения и сложения.

Типичные ошибки

В 4³ иногда умножают 4 на 3 и получают 12. Так происходит, если показатель принять за число, на которое умножают основание. Проверь себя: раскрой степень — в записи должны быть три четвёрки, а результат равен 4 · 4 · 4 = 64.

Можно перепутать основание и показатель, например решить, что в 5² основание равно 2. Обычно это случается, когда неясно, какую роль играет каждое число в записи. Назови степень словами: «пять в квадрате» — значит, повторяется пятёрка, а число повторений равно двум.

При записи 3 · 3 · 3 · 3 иногда пишут 3³, хотя множителей четыре. Ошибку допускают, если считают промежутки или просто не пересчитывают числа в произведении. Перечисли множители по одному и сверь их количество с показателем: здесь верно 3⁴.

В выражении со степенью можно начать сложение или умножение раньше вычисления степени. Так происходит, если не следить за порядком действий. Сначала подчеркни степени и найди их значения, затем выполни умножение и сложение; подстановка полученных чисел помогает проверить порядок.

Связь с другими темами

До изучения степеней нужно уметь умножать натуральные числа и понимать, что умножение одинаковых чисел можно представить как сложение одинаковых слагаемых. Например, 3 · 4 — это четыре тройки, сложенные вместе. Понимание умножения помогает увидеть, что степень — следующий удобный способ коротко записать повторение одного и того же множителя.

Степени понадобятся дальше при изучении свойств умножения, больших чисел и записи чисел в виде степеней десяти. Например, запись 10⁴ короче, чем произведение 10 · 10 · 10 · 10. Умение замечать основание и показатель помогает читать такие записи и вычислять их.

Что запомнить

• Степень заменяет произведение одинаковых множителей.
• В записи aⁿ число a — основание степени.
• Показатель n показывает количество множителей a.
• a² называют квадратом числа a.
• a³ называют кубом числа a.
• Сначала вычисляют степень, затем выполняют остальные действия.