"Математика (в 2 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Наименьшее общее кратное (НОК) — самое маленькое натуральное число, которое делится без остатка на каждое из нескольких данных чисел. Оно помогает находить общий знаменатель дробей и определять, когда снова совпадут повторяющиеся события, например отправления автобусов. НОК можно искать, выписывая кратные, или разложить числа на простые множители и выбрать каждый множитель с наибольшей степенью. Найденный ответ проверяют делением на исходные числа.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Кратное число — это число, которое делится на данное число без остатка. Кратные получают умножением данного числа на натуральные числа: например, кратные 5 — это 5, 10, 15, 20 и так далее. Такой ряд помогает увидеть, какие числа подходят для дальнейшего поиска.
Общее кратное — число, которое одновременно делится без остатка на несколько данных чисел. Например, 24 — общее кратное 6 и 8, потому что 24 : 6 = 4 и 24 : 8 = 3. Понятие общего кратного позволяет искать числа, подходящие сразу для всех условий.
Наименьшее общее кратное, или НОК, — наименьшее натуральное число, которое кратно каждому из данных чисел. Для 6 и 8 это 24: оно делится на оба числа, а меньшего общего кратного нет. НОК нужен, когда требуется найти самый ранний общий момент или общий знаменатель дробей.
Разложение на простые множители — запись числа в виде произведения простых чисел, то есть чисел, которые делятся только на 1 и на себя. Например, 12 = 2 · 2 · 3 = 2² · 3. Такое представление помогает быстро находить НОК больших чисел, не выписывая длинные ряды кратных.
Общие кратные двух чисел находятся среди чисел, которые делятся на каждое из них без остатка. Поэтому можно выписать кратные одного числа и проверить их делением на другое. Например, у 6 это 6, 12, 18, 24, а из них на 8 без остатка делится 24. Перебор удобен, если кратные легко выписать и первое совпадение находится быстро.
У любых натуральных чисел есть общее кратное: например, произведение этих чисел делится на каждое из них. Значит, можно продолжать перебирать кратные, пока не встретится подходящее число. Если расположить ряд кратных по возрастанию, первое совпадение и будет наименьшим общим кратным. Более позднее совпадение тоже общее, но оно уже не отвечает слову «наименьшее».
При разложении на простые множители удобно представить, из каких множителей состоят исходные числа. Чтобы произведение делилось на каждое из них, в НОК нужно включить все простые множители, которые встречаются хотя бы в одном разложении. Если один множитель повторяется несколько раз, выбирают наибольшее число его повторений, то есть наибольшую степень. Тогда в произведении хватит множителей для делимости на оба числа.
Если одно число делится на другое, большее число уже подходит как общее кратное: оно делится на себя и на меньшее число. При этом ни одно натуральное число меньше большего не может быть кратно ему. Поэтому большее число сразу является НОК, и дополнительные вычисления не нужны.
После нахождения ответа его следует разделить на каждое исходное число. Деление без остатка подтверждает, что ответ общий; если хотя бы один остаток не равен нулю, в вычислениях допущена ошибка. Чтобы подтвердить, что ответ наименьший, можно убедиться, что перебраны более ранние кратные, или проверить, что при разложении не взяты лишние степени. Одна только делимость на исходные числа не доказывает, что найдено именно наименьшее общее кратное.
| Ситуация или способ | Что сделать | Пример результата |
|---|---|---|
| Перебор кратных | Выписать кратные одного числа и выбрать первое, которое делится на другое | НОК(6, 8) = 24 |
| Одно число делится на другое | Взять большее число | НОК(9, 18) = 18 |
| Разложение на простые множители | Взять все простые множители с наибольшими степенями и перемножить их | 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3², НОК = 2² · 3² = 36 |
| Проверка результата | Разделить найденное число на каждое исходное число | Остаток при каждом делении равен нулю |
Сначала посмотри, не делится ли одно число на другое: в таком случае достаточно взять большее. Для небольших чисел можно использовать перебор, а для более крупных — разложение на простые множители. Проверка делением показывает, является ли результат общим кратным, но наименьший результат дополнительно подтверждают выбранным способом.
Нужно найти первое число, которое встретится в обоих рядах кратных. Составим ряды, умножая каждое число на 1, 2, 3 и дальше. Сравнение рядов позволит не принять за ответ более позднее общее кратное.
Ответ: НОК(6, 8) = 24. Более раннего совпадения в рядах нет, значит, найдено именно наименьшее общее кратное.
При этом способе нужно разложить оба числа и собрать одно произведение. В него войдут простые множители, нужные для делимости на 24 и на 90. Если множитель встречается в обоих разложениях, оставим его в наибольшей из имеющихся степеней.
Ответ: НОК(24, 90) = 360. Оба деления выполняются без остатка, а степени множителей выбраны наибольшими из исходных разложений.
Первый автобус повторяет отправление через 12, 24, 36 минут и далее. Второй делает это через 18, 36, 54 минуты и далее. Одновременное отправление произойдёт через время, которое кратно и 12, и 18; самое раннее такое время — НОК этих периодов.
Ответ: автобусы снова отправятся одновременно через 36 минут. НОК показывает именно первое совместное повторение, поэтому более поздние совпадения для ответа не подходят.
НОК иногда путают с НОД: в обоих названиях есть слова «общее» и «наибольшее». Но НОК — кратное, то есть оно делится на исходные числа, а НОД — делитель исходных чисел. Проверь себя: если ищешь НОК, ответ должен делиться на каждое из данных чисел.
Другая ошибка — остановиться на любом общем кратном, например выбрать число из середины ряда, не проверив более ранние совпадения. Это происходит, когда проверяют только делимость, забывая о слове «наименьшее». Выпиши кратные по порядку и найди первое совпадение или используй разложение на простые множители.
При разложении можно по ошибке взять только общие простые множители, как при нахождении НОД. Для НОК это не подходит: множитель, который есть лишь в одном разложении, тоже должен попасть в произведение. Сверь каждое исходное разложение с множителями ответа и проверь делением, что ответ делится на оба числа.
Неверно выбранная степень простого множителя может привести к тому, что результат не делится на одно из исходных чисел. Обычно забывают взять множитель столько раз, сколько он повторяется в одном из чисел. Проверь степени по обоим разложениям, а затем раздели ответ на каждое исходное число без остатка.
Для поиска НОК пригодятся делители и кратные, признаки делимости, простые числа и разложение на простые множители. Эти знания помогают проверять числа и выбирать удобный способ вычисления. НОК используется при приведении дробей к общему знаменателю, чтобы дроби можно было складывать или сравнивать. Ещё он помогает решать задачи о расписаниях и повторяющихся событиях: ищут, когда циклы снова совпадут.
Чем НОК отличается от НОД?
НОК — наименьшее общее кратное, то есть число, которое делится на каждое из данных чисел. НОД — наибольший общий делитель, то есть наибольшее число, на которое делятся данные числа.
Как понять, когда удобнее искать НОК перебором, а когда разложением?
Для небольших чисел удобно выписать несколько кратных и сравнить их. Если числа большие или их кратные быстро растут, обычно проще разложить числа на простые множители.
Почему в разложении для НОК берут наибольшие степени простых множителей?
Степени выбирают так, чтобы произведение делилось на каждое исходное число. Наибольшая степень каждого простого множителя содержит нужное количество таких множителей для обоих чисел.
Может ли НОК быть меньше одного из исходных чисел?
Нет, НОК не меньше ни одного из исходных натуральных чисел. Ведь общее кратное должно делиться на каждое число, а значит, не может быть меньше делителя.
Как проверить, что найденное число действительно является наименьшим общим кратным?
Сначала раздели найденное число на каждое исходное: остаток должен быть равен нулю. Затем проверь, что меньшего общего кратного нет: например, сравни ряды кратных или проверь выбор простых множителей и их степеней.
3. Наименьшее общее кратное
