"Математика (в 2-х частях)", Козлова С.А., Рубин А.Г.
Наименьшее общее кратное (НОК) помогает найти самое маленькое число, которое делится на каждое из двух данных чисел. Чтобы его найти, выписывают кратные чисел и ищут первое совпадение. Например, НОК(4, 6) = 12: это наименьшее число, которое делится и на 4, и на 6. НОК нужен в задачах о событиях, повторяющихся через разные промежутки времени, а позднее — при приведении дробей к общему знаменателю.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Кратное натурального числа — это число, которое делится на данное число без остатка. Его можно получить, умножив данное число на натуральное число: например, 5 · 3 = 15, значит, 15 — кратное 5. Такие числа помогают увидеть, какие значения подходят для решения задачи.
Общее кратное двух чисел — число, которое является кратным каждого из них. Например, 12 делится без остатка и на 4, и на 6, поэтому оно общее кратное 4 и 6. Это понятие позволяет отобрать числа, подходящие сразу для обоих условий.
Наименьшее общее кратное — самое маленькое натуральное число, которое является общим кратным данных чисел. Его обозначают НОК(a, b), где a и b — числа, для которых его ищут. Например, НОК(4, 6) = 12: меньшего общего кратного у этих чисел нет.
Чтобы составить ряд кратных числа, умножай его на 1, 2, 3 и так далее. Например, для 4 получаем 4, 8, 12, 16, 20, а для 6 — 6, 12, 18, 24. Каждый следующий результат добавляется по порядку, поэтому ряд показывает все кратные числа, начиная с самого маленького.
Общие кратные встречаются в обоих рядах, потому что каждое из них делится на оба исходных числа. Если выписывать ряды по возрастанию, первое совпавшее число будет наименьшим общим кратным. Любое следующее совпадение больше него, а до первого совпадения ни одно число не было кратным обоих чисел.
При поиске перебором не обязательно заранее записывать длинные ряды целиком. Продолжай выписывать кратные обоих чисел по возрастанию и сравнивай их: как только увидишь одно и то же число в обоих рядах, остановись. Оно уже является общим кратным, а более ранних совпадений нет, поэтому это НОК.
Если одно число делится на другое без остатка, достаточно взять большее. Оно кратно самому себе, а делимость на меньшее число следует из условия. Например, 12 делится на 4, поэтому общие кратные 4 и 12 включают 12, и меньшего общего кратного быть не может.
Результат нужно проверить делением на оба исходных числа: остатка быть не должно. Но одной этой проверки недостаточно, чтобы доказать, что найден именно НОК: число может быть общим кратным, но не наименьшим. При переборе убедись, что оно было первым совпадением рядов, то есть меньшего общего кратного нет.
| Что ищем | Как действовать | Пример |
|---|---|---|
| Кратные первого числа | Умножаем его на 1, 2, 3 и далее. | Для 4: 4, 8, 12, 16… |
| Кратные второго числа | Точно так же составляем второй ряд. | Для 6: 6, 12, 18, 24… |
| Первое общее кратное | Сравниваем ряды и отмечаем первое совпадение. | 12 — первое совпадение. |
| Проверка результата | Делим найденное число на оба исходных. | 12 : 4 = 3; 12 : 6 = 2. |
Сначала заполни оба ряда кратных, затем сравни их по порядку. Остановись на первом совпадении и проверь делимость на оба исходных числа. Так ты найдёшь не просто общее кратное, а наименьшее.
Задача 1. Найти НОК(4, 6). Ищем числа, которые делятся и на 4, и на 6. Составим оба ряда, начиная с самого маленького кратного, и остановимся, когда числа совпадут.
Ответ: НОК(4, 6) = 12. Числа меньше 12 не совпали в рядах, значит, общего кратного меньше 12 нет.
Задача 2. Найти НОК(8, 12). В этом случае сразу взять одно число нельзя: 12 не делится на 8, а 8 не делится на 12. Поэтому найдём кратные обоих чисел и будем сравнивать их, пока не появится первое совпадение.
Ответ: НОК(8, 12) = 24. Деление без остатка подтверждает, что 24 — общее кратное, а первое совпадение доказывает, что оно наименьшее.
Задача 3. Два автобуса отправляются с одной остановки: первый — каждые 6 минут, второй — каждые 8 минут. Через сколько минут они снова отправятся одновременно? Отсчитаем время от их общего отправления. Первый автобус отправляется через 6, 12, 18 минут и далее, а второй — через 8, 16, 24 минуты и далее.
Ответ: через 24 минуты. За это время первый автобус совершит четыре интервала, а второй — три. Более раннего общего времени отправления в рядах кратных нет.
Можно назвать число общим кратным, проверив делимость только на одно из данных чисел. Такая ошибка возникает, когда ученик проверяет лишь один ряд или торопится остановить перебор. Раздели найденное число на оба числа: если хотя бы одно деление даёт остаток, оно не общее кратное.
Другая ошибка — выбрать любое общее кратное, хотя требуется наименьшее. Например, 24 — общее кратное 4 и 6, но НОК этих чисел равен 12. Чтобы проверить себя, сравни ряды по порядку и убедись, что выбранное число — первое совпадение.
Кратное иногда путают с делителем. Кратное получают умножением исходного числа, а делитель — это число, на которое исходное делится без остатка; например, 15 кратно 5, но 3 — делитель 15. Проверь направление: если ищешь кратное 5, ищи результат умножения 5 на натуральное число.
Нельзя остановить перебор, просмотрев только кратные одного числа. Совпадение должно появиться в обоих рядах, иначе неизвестно, делится ли найденное число на второе исходное число. Веди оба ряда до совпадения и проверь делимость на оба числа.
Для поиска НОК нужны умножение, таблица умножения и деление натуральных чисел без остатка. Эти знания помогают составлять ряды кратных и проверять найденное число. НОК применяют в задачах о повторяющихся событиях, например об автобусах, которые отправляются через разные промежутки времени. Он также пригодится при приведении дробей к общему знаменателю.
Что называют кратным числа?
Кратное числа — это число, которое делится на данное число без остатка. Его можно получить умножением данного числа на натуральное число: например, 15 — кратное 5, потому что 5 · 3 = 15.
Как понять, что число является общим кратным двух чисел?
Нужно проверить, делится ли оно без остатка на каждое из двух чисел. Например, 24 — общее кратное 4 и 6, потому что 24 делится и на 4, и на 6.
Чем НОК отличается от любого общего кратного?
Общих кратных может быть много, а НОК — самое маленькое из них. Например, для 4 и 6 общие кратные — 12, 24, 36 и другие, но НОК равен 12.
Как найти НОК, если ряды кратных длинные?
Записывай кратные обоих чисел по порядку и ищи первое совпадение. Если одно из чисел делится на другое, можно сразу взять большее число: оно и будет НОК.
Что будет НОК, если одно число делится на другое?
НОК равен большему числу. Оно делится на себя и, по условию, делится на меньшее число, поэтому уже является общим кратным.
3.6. Наименьшее общее кратное
