3. Наименьшее общее кратное

Определения и обозначения

Кратное числа — это число, которое делится на данное число без остатка. Например, 12 — кратное 4, потому что 12 : 4 = 3. Кратные получают умножением числа на натуральные числа: 4 · 1 = 4, 4 · 2 = 8, 4 · 3 = 12 и так далее.

Общее кратное чисел — число, которое является кратным каждого из них. Например, 12 делится и на 4, и на 6, поэтому это общее кратное 4 и 6. Проверять нужно все числа из условия: делимости хотя бы на одно недостаточно.

Наименьшее общее кратное — самое маленькое натуральное число, которое является общим кратным данных чисел. Сокращённо его называют НОК и записывают, например, НОК(4, 6) = 12. Это обозначение показывает, что мы ищем наименьшее число, делящееся и на 4, и на 6.

Как это устроено

Чтобы получить кратные числа, умножай число на 1, 2, 3 и так далее. Например, кратные 5 — это 5, 10, 15, 20, 25… Каждый следующий результат больше предыдущего, поэтому список идёт по возрастанию. В нём можно искать число, которое одновременно делится на другие заданные числа.

При поиске НОК перебором удобно выписать кратные одного числа и проверять их по очереди. Например, для 4 и 6 проверяем 4, 8, 12: первые два числа на 6 не делятся, а 12 делится. Значит, поиск можно остановить на 12 и не составлять бесконечные списки кратных обоих чисел.

У двух натуральных чисел обязательно есть общее кратное: можно перемножить эти числа. Например, 4 · 6 = 24, а 24 делится и на 4, и на 6. Произведение не всегда является наименьшим общим кратным, но оно показывает, что общее кратное существует и поиск не окажется безрезультатным.

Первое подходящее число в списке кратных является наименьшим общим кратным, потому что список составлен по возрастанию. Перед ним уже проверены все кратные выбранного числа, которые меньше найденного. Ни одно из них не подошло, поэтому меньшего общего кратного среди них нет.

Поиск можно упростить, если одно число делится на другое без остатка. Например, 15 делится на 5, значит, 15 уже является кратным обоих чисел: самого себя и 5. Общего кратного меньше 15 быть не может, потому что оно должно делиться на 15; поэтому НОК(5, 15) = 15.

Как находить наименьшее общее кратное

Сначала определи, не делится ли одно из чисел на другое: в таком случае достаточно взять большее. Если это не так, выписывай кратные одного числа по порядку и проверяй, делится ли каждое на остальные. Найденное число обязательно проверь делением на все исходные числа.

Разбор задач

Задача 1. Найди НОК(3, 5). Будем проверять кратные 3 по возрастанию, потому что так не пропустим более раннее общее кратное. Первое кратное 3, которое делится на 5, даст ответ.

1. Записываем кратные 3: 3, 6, 9, 12, 15.
2. Проверяем делимость на 5: 3, 6, 9 и 12 не делятся на 5, а 15 делится.
3. До 15 все кратные 3 уже проверены, поэтому меньшего общего кратного нет.

Ответ: НОК(3, 5) = 15. Проверка: 15 : 3 = 5 и 15 : 5 = 3, остатка нет.

Задача 2. Найди НОК(6, 8). Одного общего кратного недостаточно: нужно найти самое маленькое. Поэтому проверяем кратные 6 по возрастанию и останавливаемся на первом, которое делится на 8.

1. Выписываем кратные 6: 6, 12, 18, 24.
2. Проверяем их на делимость на 8: 6, 12 и 18 не делятся на 8, а 24 делится.
3. Числа 6, 12 и 18 меньше 24 и не подошли, значит, меньшего общего кратного нет.

Ответ: НОК(6, 8) = 24. Проверяем: 24 : 6 = 4, а 24 : 8 = 3.

Задача 3. Два автобуса отправляются с одной остановки: один каждые 12 минут, другой каждые 18 минут. Через сколько минут они снова отправятся одновременно? Нужно найти первый момент, который наступает через целое число промежутков для обоих автобусов, то есть НОК(12, 18).

1. Выписываем кратные 12: 12, 24, 36.
2. Проверяем, делятся ли они на 18: 12 и 24 не делятся, а 36 делится.
3. Кратные 12 до 36 уже проверены и не подошли, поэтому раньше автобусы одновременно не отправятся.

Ответ: автобусы снова отправятся одновременно через 36 минут. За это время первый автобус отправится три раза через каждые 12 минут, а второй — два раза через каждые 18 минут.

Типичные ошибки

Общим кратным иногда называют число, которое делится только на одно из заданных чисел. Так происходит, если проверить лишь один делитель. Для проверки раздели ответ на каждое число отдельно: во всех случаях частное должно быть целым.

Другая ошибка — остановиться на любом общем кратном, например взять произведение чисел, даже когда уже есть меньшее подходящее число. Произведение действительно делится на оба числа, но может не быть наименьшим. Выписывай кратные по возрастанию и останавливайся только на первом, которое прошло все проверки.

НОК путают с наибольшим из двух исходных чисел. Но НОК может быть больше обоих чисел: например, НОК(4, 6) = 12. Проверяй не размер, а делимость на оба числа и отсутствие меньшего общего кратного.

Если одно число делится на другое, иногда ошибочно выбирают меньшее. Например, 15 делится на 5, но 5 не делится на 15, поэтому 5 не может быть общим кратным. Возьми большее число и проверь, что оно делится на меньшее: тогда это число и есть НОК.

Связь с другими темами

Для поиска НОК нужны умножение и деление без остатка: с помощью умножения составляют список кратных, а делением проверяют каждое из них. Нужно уметь определять, является ли одно число кратным другого. Позже НОК поможет приводить дроби к общему знаменателю. Он также встречается в задачах о повторяющихся событиях: например, когда нужно узнать, через какое время снова совпадут отправления автобусов.

Что запомнить

• Кратные числа получают умножением данного числа на натуральные числа.
• Общее кратное делится на каждое из данных чисел.
• НОК — наименьшее из общих кратных.
• НОК можно искать, выписывая кратные по порядку.
• Найденное НОК должно делиться на каждое исходное число.
• Если одно число делится на другое, их НОК равен большему числу.